POJ2096 Collecting Bugs

一个软件有s个子系统，会产生n种bug。某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。
求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。
需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s，属于某种类型的概率是1/n。
数据范围1≤n,s≤2000。
TL：1s，ML：256Mb

计算期望E=∑所有可能需要的天数*概率
s种系统，n种bug,bug数量不限，求在每个子系统中都找到了bug，且每个bug都出现了的期望天数
思考能够描述状态空间的数组
在这个状态空间中，有找到了几种bug，和几个子系统中找到了bug两个问题（我们需要注意到，对于这s个子系统，究竟找到了哪种bug这是不重要的，因为题目没有限定在某个系统要找哪种bug,也没有限定某种bug要被找到多少次，为了使期望天数最小，我们贪心的想，每种bug我们只在某个子系统中找到一次，每个子系统只找到一次bug，但不幸的是）。
这样我们能够设置出这样的dp数组：f[i, j]表示找了i个bug，在j个子系统中找到bug的期望天数
这样我们可以想到4个情况推导到当前情况,f[i - 1, j], f[i, j - 1], f[i - 1, j - 1], f[i, j]
但是这样推导过来，我们在当前情况的1天的概率我们是知道的，但是这4中情况的总概率并不等于1，也就是说，在某个期望天数内出现当前状态的概率并不等于1，这意味着可能会有需要2天，3天...的概率，这样问题就变得复杂难算，
但是我们似乎没有更多的信息支持我们相出一个新的状态，这样我们只能换一种思考方式：

摘抄：对于期望 DP，我们一般采用逆序的方式来定义状态，即考虑从当前状态到达终点的期望代价。因为在大多数情况下，终点不唯一，而起点是唯一的。

//链接：https://blog.sengxian.com/algorithms/probability-and-expected-value-dynamic-programming

对于现在什么都不会的身为蒟蒻的我，选择相信大佬，倒着退....这样我们存储的信息就变成了，距离期望天数还有多少天，也就是距离期望天数的剩余天数
1.在新的系统中找到了旧bug：f[i, j + 1]
2.在旧的系统中找到了新Bug：f[i + 1, j]
3.在旧的系统中找到了旧Bug：f[i, j]
4.在新的系统中找到了新bug：f[i + 1, j + 1]
由这四个状态向当前情况推导
对于概率的计算，分别是：
1.p1 = i * (s - j) / (n * s);
2.p2 = (n - i) * j / (n * s);
3.p3 = i * j / n * s;
4.p4 = (n - i) * (s - j) / (n * s)
然后根据E(aA+bB+cC+dD+...)=aEA+bEB+....;//a,b,c,d...表示概率,A,B,C...表示状态
所以最后的dp方程就是：
f[i, j] = p1 * f[i, j + 1] + p2 * f[i + 1, j] + p3 * f[i, j] + p4 * f[i + 1, j + 1] + 1;
==> f[i, j] - p3 * f[i, j] = p1 * f[i, j + 1] + p2 * f[i + 1, j] + p4 * f[i + 1, j + 1] + 1;
==> f[i, j] * (1 - p3) = p1 * f[i, j + 1] + p2 * f[i + 1, j] + p4 * f[i + 1, j + 1] + 1;
==> f[i, j] = (p1 * f[i, j + 1] + p2 * f[i + 1, j] + p4 * f[i + 1, j + 1] + 1) / (1 - p3);
初态:f[n][s] = 0;
末态:f[0][0]

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int maxn = 1100;
double f[maxn][maxn];
int n, s; 
double a, b, c, d;
//f[i, j]表示找了i个bug，在j个子系统中找到bug的期望天数 
inline int read() {
    int x = 0, y = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) {
        if(ch == '-') y = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) {
        x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * y;
}

int main() {
    memset(f, 0, sizeof(f));
    n = read(), s = read();
    for(int i = n; i >= 0; --i)
        for(int j = s; j >= 0; --j) {
            //4种情况：旧的系统中找到了新的bug，旧的系统中找到了旧的bug 
            //新的系统中找到了新的bug，新的系统中找到了旧的bug 
            if(i == n && j == s) continue;
            a = 1.0 * j * (n - i) / (s * n);//旧系统，新bug
            b = 1.0 * j * i / (s * n);//旧系统，旧bug
            c = 1.0 * (s - j) * i / (s * n);//新系统，旧bug
            d = 1.0 * (s - j) * (n - i) / (s * n);//新系统，新bug
            f[i][j] = (a * f[i + 1][j] + c * f[i][j + 1] + d * f[i + 1][j + 1] + 1) / (1 - b);  
        }
    printf("%.4f\n", f[0][0]);
    return 0;
}