树的直径学习笔记
树的直径
给定一棵树，树中每条边都有一个权值，树中两点之间的距离定义为连接两点的路径边权之和。树中最远的两个节点之间的距离被称为树的直径，连接这两点的路径被称为树的最长链。后者通常也可称为直径，即直径是一个
数值概念，也可代指一条路径
树的直径通常有两种求法，时间复杂度均为O(n)。我们假设树以N个点N-1条边的无向图形式给出，并存储在邻接表中。
树形DP求树的直径
设1号节点为根,"N个点N-1条边的无向图"就可以看做“有根树”
设d[x]表示从节点x出发走向以x为根的子树，能够到达的最远节点的距离。设x的子节点为y1,y2, y3, ..., yt，edge(x, y)表示边权，显然有"
d[x] = max{d[yi] + edge(x, yi)}(1 <= i <= t)
接下来，我们可以考虑对每个节点x求出"经过节点x的最长链的长度"f[x]，整棵树的直径就是max{f[x]}(1 <= x <= n)
对于x的任意两个节点yi和yj，"经过节点x的最长链长度"可以通过四个部分构成：从yi到yi子树中的最远距离，边(x, yi)，边(x, yj)，从yj到yj子树中的最远距离。设j < i，因此：
f[x] = max{d[yi] + d[yj] + edge(x, yi) + edge(x, yj)}(1 <= j < i <= t)
但是我们没有必要使用两层循环来枚举i, j。在计算d[x]的过程，子节点的循环将要枚举到i时d[x]恰好就保存了从节点x出发走向“以yj(j < i)为根的子树”，能够到达的最远节点的距离，这个距离就是max{d[yi] +edge(x, yi)}(1
<= j < i)。所以我们先用d[x] + d[yi] + edge(x, yi)更新f[x]，再用d[yi] + edge(x, yi)更新d[x]即可
1 void dp(int x) { 2 v[x] = 1; 3 for(int i = head[x]; i; i = net[i]) { 4 int y = ver[i]; 5 if(v[y]) continue; 6 dp(y); 7 ans = max(ans, d[x] + d[y] + edge[i]); 8 d[x] = max(d[x], d[y] + edge[i]); 9 } 10 }
两次BFS（DFS）求树的直径
1.从任意节点出发，通过BFS和DFS对树进行一次遍历，求出与出发点距离最远的节点记为p
2.从节点p出发，通过BFS或DFS再进行一次遍历，求出与p距离最远的节点，记为q。
从p到q的路径就是树的一条直径。因为p一定是直径的一端，否则总能找到一条更长的链，与直径的定义矛盾。显然地脑洞一下即可。p为直径的一端，那么自然的，与p最远的q就是直径的另一端。
在第2步的遍历中，可以记录下来每个点第一次被访问的前驱节点。最后从q递归到p，即可得到直径的具体方案
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn = 100086; 4 struct picture { 5 int y, v, net; 6 int pre; 7 }e[maxn]; 8 int lin[maxn], len = 0; 9 int n, m, dis[maxn]; 10 bool vis[maxn]; 11 int start, end; 12 13 inline int read() { 14 int x = 0, y = 1; 15 char ch = getchar(); 16 while(!isdigit(ch)) { 17 if(ch == '-') y = -1; 18 ch = getchar(); 19 } 20 while(isdigit(ch)) { 21 x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; 22 ch = getchar(); 23 } 24 return x * y; 25 } 26 27 inline void insert(int xx, int yy, int vv) { 28 e[++len].y = yy; 29 e[len].v = vv; 30 e[len].net = lin[xx]; 31 e[len].pre = xx; 32 lin[xx] = len; 33 } 34 35 void dfs(int st) { 36 vis[st] = 1; 37 for(int i = lin[st]; i; i = e[i].net) { 38 int to = e[i].y; 39 if(!vis[to]) { 40 dis[to] = dis[st] + e[i].v; 41 dfs(to); 42 } 43 } 44 } 45 46 int main() { 47 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 48 memset(dis, 0x3f3f3f, sizeof(dis)); 49 n = read(), m = read(); 50 for(int i = 1; i <= m; ++i) { 51 int x, y, v; 52 x = read(), y = read(), v = read(); 53 insert(x, y, v); 54 insert(y, x, v); 55 } 56 dis[1] = 0; 57 dfs(1); 58 int maxx = -1000; 59 for(int i = 1; i <= n; ++i) 60 if(dis[i] > maxx && dis[i] != 1061109567) { 61 maxx = dis[i]; 62 start = i; 63 } 64 cout << maxx << ' ' << start << '\n'; 65 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 66 memset(dis, 0x3f3f3f,sizeof(dis)); 67 dis[start] = 0; 68 dfs(start); 69 maxx = -1000; 70 for(int i = 1; i <= n; ++i) 71 if(dis[i] > maxx && dis[i] != 1061109567) { 72 maxx = dis[i]; 73 end = i; 74 } 75 cout << start << ' ' << maxx << ' ' << end << '\n'; 76 return 0; 77 }
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 const int maxn = 100086; 5 const ll inf = 1061109567; 6 struct picture { 7 int y, net, v; 8 int pre; 9 }e[maxn]; 10 int n, m; 11 int lin[maxn], len = 0; 12 int dis[maxn]; 13 int q[maxn], head = 0, tail = 0; 14 int start, end; 15 bool vis[maxn]; 16 17 inline int read() { 18 int x = 0, y = 1; 19 char ch = getchar(); 20 while(!isdigit(ch)) { 21 if(ch == '-') y = -1; 22 ch = getchar(); 23 } 24 while(isdigit(ch)) { 25 x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; 26 ch = getchar(); 27 } 28 return x * y; 29 } 30 31 inline void insert(int xx, int yy, int vv) { 32 e[++len].pre = xx; 33 e[len].y = yy; 34 e[len].v = vv; 35 e[len].net = lin[xx]; 36 lin[xx] = len; 37 } 38 39 inline void bfs(int st) { 40 head = tail = 0; 41 vis[st] = 1; 42 q[++tail] = st; 43 while(head < tail) { 44 //cout << head << '\n'; 45 for(int i = lin[q[++head]]; i; i = e[i].net) { 46 int to = e[i].y; 47 if(!vis[to]) { 48 dis[to] = dis[q[head]] + e[i].v; 49 vis[to] = 1; 50 q[++tail] = to; 51 } 52 } 53 } 54 } 55 56 int main() { 57 n = read(), m = read(); 58 for(int i = 1; i <= m; ++i) { 59 int x, y, v; 60 x = read(), y = read(), v = read(); 61 insert(x, y, v); 62 insert(y, x, v); 63 } 64 memset(dis, 0x3f3f3f, sizeof(dis)); 65 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 66 dis[1] = 0; 67 bfs(1); 68 int maxx = -1000; 69 for(int i = 1; i <= n; ++i) 70 if(dis[i] > maxx && dis[i] != inf) { 71 start = i; 72 maxx = dis[i]; 73 } 74 cout << maxx << ' ' << start << '\n'; 75 memset(dis, 0x3f3f3f, sizeof(dis)); 76 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 77 dis[start] = 0; 78 bfs(start); 79 maxx = -1000; 80 for(int i = 1; i <= n; ++i) 81 if(dis[i] > maxx && dis[i] != inf) { 82 end = i; 83 maxx = dis[i]; 84 } 85 cout << start << ' ' << maxx << ' ' << end << '\n'; 86 return 0; 87 } 88
