关于互质的小水题

题目描述

求1000以内与105互质的数

思路

__gcd至高无上

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=1000;i++)
	{
		if(__gcd(i,105)==1)ans++;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

水题，A了。
首先这是一道数奥题，这就意味着你无法使用C++等高级工具。
思路如下：

1. 运用正难则反思想，把题目转化成1000以内和105有着公共质因子的数的个数。
2. 对105进行分解质因数，拆成3、5、7。
3. 接下来这一步是精华，我们去找质因子中含3、5或7的数，可以转化为%3==0，%5==0，%7==0三个集合。然后利用容斥原理，二交集分别是%(3*5)==0、%(3*7)==0、%(5*7)==0，三交集只有%(3*5*7)==0。
4. 这里有一个显然的结论：1~n里面所有被p整除的数的数量为\(\lceil{n\over{p}}\rceil\)，具体证明不多赘述。于是算出来前面所提及几个集合的数值，设f(x)代表这个集合的数值，有$$ans=f(3)+f(5)+f(7)-f(15)-f(21)-f(35)+f(105)$$
   相信这个大家还是可以手算的，算出来是543。
5. 最后不要忘了用1000减去这个数值才是正确答案。得到457，AC本题。
   代码对拍：
   
   正确性还是有的。