【整理中】可靠性基础_概率分布

 

 

可靠性相关的 概率基本概念

F(t) - Cumulative Distribution Function (CDF) 积累失效概率函数；

R(t) - Reliability Function 可靠度函数， R(t) = 1 − F(t)；

f(t)  - Probability Density Function (PDF) 失效概率密度函数，f(t) = dF (t)/dt；

λ(t)/h(t) - Failure (or hazard) rate Function 失效率函数,  λ(t) = f(t)/R(t) = f(t)/(1 − F(t) )；

 

 

 A1、二项分布（Binomial）

二项分布  是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p；

    这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。二项分布也由伯努利（Bernoulli）提出。

,       表示  

 

 A2、泊松（Poisson）分布

泊松分布：当 n 很大，p极小时，二项分布的一种近似快速算法。

,       λ = np

二项分布 到 泊松分布的推算。

 

A3、负指数分布

负指数分布又称指数分布。泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔）服从指数分布。

 

可知，指数分布对应的 h(t) 为 λ（对应泊松分布的 n*p）。常用于描述元件偶然失效期间，固定失效率 λ 下的 失效分析。

另外，常用于假定排队系统中服务器的服务时间和Petri网中变迁的实施速率符合指数分布。

 数学期望 E(X) 为 1/λ ， 方差 D(X) 为 1/ λ^2

 

 A4、韦布尔（Weibull）分布 

α＞0是比例参数（scale parameter）；β＞0是形状参数（shape parameter），也常用 k 表示。

它的累积分布函数是扩展的指数分布，当 β=1 时，等价于指数分布( λ =1/α )；  当 β=2 时，等价于瑞利分布(Rayleigh distribution)。

 

威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。

β < 1 表示故障率随时间减小。 β = 1 表示故障率恒定。β > 1 表示故障率随时间增加。
分别对应 失效浴盆曲线 的 早期失效期、偶然失效期、损耗失效期。

   ===>  ln ( -ln(1-F(t)) ) = βln(t) - ln(α) =  β( ln(t) - ln(T63) ).     

               其中：α = T63^β，  T63 对应 F(t=T63) = 0.632 的时刻。

  

 

A5、伽马（Gamma）分布 

从公式来看：X∼Gamma(α,λ)，伽马分布的概率公式如下

其中：伽马函数为 ，该函数有 递归特性 。

 

从意义来看：伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”。

由于指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”，因此，伽玛分布可以看作是α(alpha)个指数分布的独立随机变量的加总，

即，α个 Exponential(λ) random variables--->Gamma(α,λ）

统计指标 为，来看： 就是α(alpha) 倍的 指数分布的数学期望 和 方差。

因此，同 指数分布 的关联：当 α=1 时，伽马分布 将变成了 指数分布：

另外：同 卡方分布 的关联：当 α=n/2， λ=1/2  时，伽马分布 将变成了 卡方分布

 

  

B1、正态分布

 

 

 

 

B2、 Distribution（卡方分布）

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。分布在数理统计中具有重要意义。

该分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K．Pearson)分别于1875年和1900年推导出来。

从上图可见当自由度 n 越大，密度曲线越趋于对称，越接近正态分布；n越小, 曲线越不对称。

当 n = 1, 2 时曲线是单调下降趋于 0；当 n ≥ 3时曲线有单峰, 从 0 开始先单调上升, 在一定位置达到峰值, 然后单下降趋向于 0。

 卡方分布密度曲线下的面积都是1。查表时为，特定自由度n下，曲线下积分面积的分数位对应的x。例如 n=1， 5%下 x=3.841。

 

B3、对数正态分布

 

 

 

B4.Student分布（S分布）

 

 

 

C、总结

C1、各个分布的转换关系

 

 【工具软件】

1）PPM Calulator  （实际分布为 Gamma分布，转为 卡方分布 更方便查表计算）

https://www.maximintegrated.com/en/design/design-tools/calculators/general-engineering/ppm.html

http://www.ti.com/support-quality/reliability/DPPM-sample-size-calculator.html

2）Excel 类函数 

  CHISQ.INV(probability,deg_freedom)   -- 求卡方分布左尾概率的反函数值

  CHIINV(probability,degrees_freedom)  -- 求卡方分布（右尾）概率的反函数值

  GAMMAINV(probability,alpha,beta)     -- 求伽马分布概率的反函数值

  BINOMDIST 或 BINOM.DIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)    -- 求二项式分布的概率，  常用于：OC曲线计算

 注：https://www.wps.cn/learning/course/index/cg/34.html  WPS中关于 统计函数使用说明（含视频）

 

【参考文档】可靠性

    1) https://zhuanlan.zhihu.com/c_158803178 【入门】可靠性知道 专栏

    2) https://wenku.baidu.com/view/f5333220a98271fe910ef987.html 【基础】可靠性数学基础

    3) https://wenku.baidu.com/view/29fb0cb9a45177232e60a2a5.html  【基础】机械产品的可靠性概率分布

 

【参考文档】数学分布

    1) https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201  【深入】三大抽样分布：卡方分布，t分布和F分布的简单理解

    2) https://wenku.baidu.com/view/ab59abb8c77da26925c5b0a3.html  【基础】几种常见的分布 

    3) https://www.zhihu.com/question/34866983/answer/191286772  【基础】怎么来理解伽玛（gamma）分布？ 

    4) https://cosx.org/2014/07/gamma-function-1/  【基础】神奇的伽玛函数 (上) 

    5) https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a 【基础】伽马分布，指数分布，泊松分布的关系

    6) https://blog.csdn.net/u010182633/article/details/71101847 【基础】漫步数理统计二十四——伽玛、卡方与贝塔分布

    7) https://zhuanlan.zhihu.com/p/87849297【基础】深度学习必懂的 13 种概率分布

 

  【引用请声明出处，yvivid】https://www.cnblogs.com/yvivid/p/reliability_probability.html