「NOIP2010」关押罪犯 解题报告

「NOIP2010」关押罪犯

题目描述

S 城现有两座监狱，一共关押着$N$名罪犯，编号分别为$1-N$。他们之间的关系自然也极不和谐。很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。如果两名怨气值为  的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为$c$的冲突事件。

每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到 S 城 Z 市长那里。公务繁忙的 Z 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。

在详细考察了$N$名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。他准备将罪犯们在两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。

那么，应如何分配罪犯，才能使 Z 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？

输入输出格式

输入格式

每行中两个数之间用一个空格隔开。第一行为两个正整数$N,M$，分别表示罪犯的数目以及存在仇恨的罪犯对数。接下来的  行每行为三个正整数$a_i,b_j,c_j$ ，表示$a_i$号和$b_j$号罪犯之间存在仇恨，其怨气值为$c_j$ 。数据保证 $1<a_i≤b_j≤N,0<c_j≤10^9$，且每对罪犯组合只出现一次。

输出格式

共 1 行，为 Z 市长看到的那个冲突事件的影响力。如果本年内监狱中未发生任何冲突事件，请输出 0。

solution

我们发现题目求的是最大怨气值的最小值

因此我们考虑二分答案

问题就转换了成将$N$名罪犯关押在两个监狱中，能否使得同监狱罪犯之间的怨气值都$≤mid$

我们将问题转换成二分图模型：

罪犯=点，有冲突=边，怨气值=边权

对于每次二分的答案$mid$

我们将所有权值$>mid$的边加入图中，看是否能够形成二分图

因为二分图的同部之间没有边，其实就是说明ta们之间的怨气值$≤mid$，因此ta们在同一个监狱里是ok的

用染色法判断是否能够形成二分图即可

code

bool dfs(int x,int col){
	v[x]=col;
	for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
		if(w[i]<=mid) continue;
		int y=to[i];
		if(!v[y]) {
			if(!dfs(y,3-col)) return 0;
		}
		else if(v[y]==v[x]){
			return 0;
		} 
	}
	return 1;
}
bool check(int k){
	memset(v,0,sizeof(v));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!v[i]){
			if(!dfs(i,1)) return 0;
		}
	}
	return 1;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z),add(y,x,z);
		r=max(r,z);
	}
	while(l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)){
			 r=mid-1;
		} else {
			l=mid+1;
		} 
	}
	printf("%d",l);
	return 0;
}

完结撒花❀

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