[NOI2022] 众数 题解

题目描述

对于一个序列，定义其众数为序列中出现次数严格大于一半的数字。注意该定义与一般的定义有出入，在本题中请以题面中给出的定义为准。
一开始给定 $n$ 个长度不一的正整数序列，编号为 $1 \sim n$，初始序列可以为空。这 $n$ 个序列被视为存在，其他编号对应的序列视为不存在。 有 $q$ 次操作，操作有以下类型:

• $1 \ x \ y$：在 $x$ 号序列末尾插入数字 $y$。保证 $x$ 号序列存在，且 $1 \le x, y \le n + q$。
• $2 \ x$：删除 $x$ 号序列末尾的数字，保证 $x$ 号序列存在、非空，且 $1 \le x \le n + q$。
• $3 \ m \ x_1 \ x_2 \ x_m$：将 $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 号序列顺次拼接，得到一个新序列，并询问其众数。如果不存在满足上述条件的数，则返回 $-1$。数据保证对于任意 $1 \le i \le m$，$x_i$ 是一个仍然存在的序列，$1 \le x_i \le n + q$，且拼接得到的序列非空。注意：不保证 ${x_1, \ldots, x_m}$ 互不相同，询问中的合并操作不会对后续操作产生影响。
• $4 \ x_1 \ x_2 \ x_3$：新建一个编号为 $x_3$ 的序列，其为 $x_1$ 号序列后顺次添加 $x_2$ 号序列中数字得到的结果，然后删除 $x_1, x_2$ 对应的序列。此时序列 $x_3$ 视为存在，而序列 $x_1, x_2$ 被视为不存在，在后续操作中也不会被再次使用。保证 $1 \le x_1, x_2, x_3 \le n + q$、$x_1 \ne x_2$、序列 $x_1, x_2$ 在操作前存在、且在操作前没有序列使用过编号 $x_3$。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $n$ 和 $q$，分别表示数列的个数和操作的次数，保证 $n \le 5 \times {10}^5$、$q \le 5 \times {10}^5$。
接下来 $n$ 行，第 $i$ 行表示编号为 $i$ 的数列。
每一行的第一个非负整数 $l_i$ 表示初始第 $i$ 号序列的数字个数，接下来有 $l_i$ 个非负整数 $a_{i,j}$ 按顺序表示数列中的数字。
假定 $C_l = \sum l_i$ 代表输入序列长度之和，则保证 $C_l \le 5 \times {10}^5$、$a_{i,j} \le n + q$。
接下来 $q$ 行，每行若干个正整数，表示一个操作，并按照题面描述中的格式输入。
假定 $C_m = \sum m$ 代表所有操作 $3$ 需要拼接的序列个数之和，则保证 $C_m \le 5 \times {10}^5$。

输出格式

对于每次询问，一行输出一个整数表示对应的答案。

solution

这个题：我们可以不是很显然地知道：众数为中位数。。。。。

浅浅地证明一下啊：

若众数在最左边

∵众数为序列中出现次数严格大于一半的数字

∴$a[1\to ed]=same，ed-1+1(len_{众数})≥\frac{1}{2}len_{all}$

∴$1≤mid<ed$

∴$a[mid]=a[1]$

即中位数=众数

若众数在最右边，同理可得中位数=众数

若在中间：

若众数为$a[w]$

$len>mid$

∴$a[w\to w+len]=same$

又∵$w+len≤n$

∴$w<mid$

又因为$w+len>mid$

∴$a[mid]=a[w]$

综上所述，众数为中位数

证毕。

so，我们可以开一个权值线段树来统计序列中数的个数

用链表来存序列。。。。。。。。。。

权值线段树

权值线段树即一种线段树，以序列的数值为下标。
权值线段树维护一列数中数的个数。

也就是说，我们的权值线段树就是用线段树维护了一堆桶。

这就是权值线段树的概念。

权值线段树维护的是桶，按值域开空间，维护的是个数。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=4e6+2; 
int n;//初始 有多少链表 
int q;//询问个数 
int m;//询问3链表的个数 
int que[N];// 询问3的第i个链表的id 
int lst[N];//询问3的第i个链表的rt值 
int lim;//总共有多少链表 
int hd[N];//i链表的头头 
int tl[N];//i链表的尾巴 
int pre[N];//i的前面一个 
int val[N];//第i个数的值 
int tot;//加入数的id 
ll sz[N];//i链表的size大小 
int rt[N];//i链表在线段树上的rt 
int lc[N],rc[N];//线段树i的左右儿子 
int ttt;//线段树节点（动态开点） 
ll sum[N];//i的个数（线段树）
int x,op,id,y;
void addlink(int id,int x){//在链表后加上x 
    if(!sz[id]) hd[id]=x;//x就是id链表的第一个元素（ta就是头头） 
    sz[id]++;//链表大小更新 
    pre[x]=tl[id];//x的前一个就是id链表之前的尾巴 
    tl[id]=x;//新尾巴 
} 
void dellink(int id){//删去链表末尾 
    sz[id]--;// 链表大小更新
    if(!sz[id]) hd[id]=0;//id链表没了。。 
    tl[id]=pre[tl[id]];//尾巴就是尾巴的前一个 
} 
void link(int x,int y,int id){//链表合并 
    if(sz[x])hd[id]=hd[x];//id的头头就是x的头头 
    else hd[id]=hd[y];//但是如果xGG了话就是y的头头了 
    if(sz[y])tl[id]=tl[y];//id的尾巴就是y的尾巴  
    else tl[id]=tl[x];//但是如果yGG了话就是x的尾巴了 
    sz[id]=sz[x]+sz[y];//id的大小就是x和y加起来 
    if(hd[y]) pre[hd[y]]=tl[x];//xy首位拼接 
}
void pushup(int p){
    sum[p]=sum[lc[p]]+sum[rc[p]];//sum数组更新 
}
void update(int &p,int l,int r,int w,ll v){
    if(!p){
        p=++ttt; //动态开点 
    } //懂？ 
    if(l==r){//找到啦 
        sum[p]+=v;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(w<=mid) update(lc[p],l,mid,w,v);//在左边 
    else update(rc[p],mid+1,r,w,v);//在右边 
    pushup(p);
} 
int merge(int x,int y,int l,int r){
    if(!x||!y) return (x+y);//有一个已经GG了 
    if(l==r){// 
        sum[x]+=sum[y];
        return x;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    lc[x]=merge(lc[x],lc[y],l,mid);
    rc[x]=merge(rc[x],rc[y],mid+1,r);
    pushup(x);//合并合并 afasdfasd 
    return x;
}
ll getsum(int p,int l,int r,int L){//L出现的次数 
    if(!p) return 0;
    if(l==r) return sum[p];//you got it! 
    int mid=(l+r)>>1;
    if(L<=mid) return getsum(lc[p],l,mid,L);
    return getsum(rc[p],mid+1,r,L);
} 
int query(int l,int r,int k){//二分 中位数 
    if(l==r) return l;
    ll tmp=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        tmp+=sum[lc[lst[i]]];
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(tmp>=k){//在← 
        for(int i=1;i<=m;i++){
            lst[i]=lc[lst[i]];
        } 
        return query(l,mid,k);
    }else{
        for(int i=1;i<=m;i++){
            lst[i]=rc[lst[i]];
        } 
        return query(mid+1,r,k-tmp);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    lim=n+q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&m);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&x);
            val[++tot]=x;
            addlink(i,tot);
            update(rt[i],1,lim,x,1); 
        }
    }
    while(q--){
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            scanf("%d%d",&id,&x);
            val[++tot]=x;
            addlink(id,tot);
            //链表末尾加上x(val[tot]) 
            update(rt[id],1,lim,x,1);
            //cnt[x]+1 
        } else if(op==2){
            scanf("%d",&id);
            update(rt[id],1,lim,val[tl[id]],-1);
            //cnt[val[链表id末尾tl[id]]]-1 
            dellink(id);
            //删去链表末尾 
        } else if(op==3){
            scanf("%d",&m);
            ll all=0;//合并后数组长度
            for(int i=1;i<=m;i++){
                scanf("%d",&que[i]);//第i个数组
                lst[i]=rt[que[i]];//第i个数组的头头
                all+=sz[que[i]];//总长 
            } 
            int xx=query(1,lim,(all+1)>>1);
            ll tmp=0;
            //tmp:中位数xx出现的个数 
            for(int i=1;i<=m;i++){
                tmp+=getsum(rt[que[i]],1,lim,xx);
                //xx在第i个数组中出现的次数 
            }
            if((tmp<<1)>all) printf("%d\n",xx);//ok啊 
            else printf("-1\n"); //不ok 
        } else{
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&id);
            link(x,y,id);//合并两链表 
            rt[id]=merge(rt[x],rt[y],1,lim); //合并线段树 
        }
    }
    return 0;
}

完结撒花❀
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