2025寒训：寒末上午（数学）Day 4

合集 - 2025寒训(5)

1.2025寒训：寒末上午（数学）Day 102-132.2025寒训：寒末上午（数学）Day 202-143.2025寒训：寒末上午（数学）Day 302-154.2025寒训：寒末下午 Day 3 专题：线性基02-15

5.2025寒训：寒末上午（数学）Day 402-15

收起

卡特兰数（此处的 $C$ 均为卡特兰数）

$C_n=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{n+1}=\frac{4n-2}{n+1}{c}_{n-1}=\frac{1}{n+1}\sum _{i=0}^n(C_n^i{)}^2$

等价定义 1

$n\times n$ 的网格，从左下到右上，每次向右或向上，向右的次数不少于向上的次数的方案数（出栈序列个数；括号匹配序列个量）
$C_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+1})$

等价定义 2

$n$ 个节点本质不同的二叉树个数（圆上 $2n$ 个点，两两匹配连接，互不相交的方案数；凸 $n+2$ 边形三角形划分方案数）
$C_n=\sum _{i=0}^n{C}_i{C}_{n-i-1}$

生成函数

$G(x)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i$
$G^2(x)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{i+1}{x}^i$
$G(x)=x{G}^2(x)+1$
$G(x)=\frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{i+1}{C}_i^{2i}{x}^i$

概率与期望

$E(x)=\sum _i{P}_i{x}_i$
$E(ax+by)=aE(x)+bE(y)$

概率为 $P$ 的事件期望在 $\frac{1}{P}$ 次后发生

Prüfer 序列

树转序列：每一次找到编号最小的度数为 $1$ 的节点，将其删除并将与之相连的节点放入序列，直到树中只剩两个点
序列转树：每次取出第一个元素与在点集中且不在序列中最小的点连接并删除，直到点集中只剩两个点，连接即可

结论：$n$ 个点的完全图的生成树有 $n^{n-2}$ 个

容斥原理

$|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_m|=\sum _{1\le i\le m}|A_i|-\sum _{1\le i<j\le m}|A_i\cap A_j|+\cdots +(-1{)}^{m-1}|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_m|$

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本文作者：yuzihang
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