2025寒训：寒末下午 Day 3 专题：线性基

合集 - 2025寒训(5)

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4.2025寒训：寒末下午 Day 3 专题：线性基02-15

5.2025寒训：寒末上午（数学）Day 402-15

收起

线性空间 $W$

• $x\in W\to kx\in W{F}_2:k=0,1$
• $0\in W$
• $x\in W,y\in W\to x+y\in W$

线性有/无关组

$S$ 中存在子集和为 0 的有关，否则无关

基

极大的线性无关组

$span(S)$

求最小的 $W$，使 $S\in W$

求解

• 高斯消元
• 倍增拆位法（推荐）
  具体见代码

模版代码 P3812【模板】线性基

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t[55];//桶
void ins(int x)//加入一个数
{
    for(int i = 50; i >= 0; i --)
    {
        if(x & (1ll << i))
        {
            if(!t[i])
            {
                t[i] = x;
                break;
            }
            else
            {
                x ^= t[i];
            }
        }
    }
}
void erase()//化简基
{
    for(int i = 0; i <= 50; i ++)
    {
        for(int j = i + 1; j <= 50; j ++)
        {
            if(t[j] >> i & 1ll)
            {
                t[j] ^= t[i];//消除相同的位
            }
        }
    }
}
signed main()
{
    int n;
    long long x;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> x;
        ins(x);
    }
    erase();
    long long ans = 0;
    for(int i = 0; i <= 50; i ++)
    {
        ans ^= t[i];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

P4869 的结论

简化基从小到大排序后为 $c_0,c_1\dots c_{m-1}$
令 $x=2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots +2^{a_t}$，$f(x)=c_{a_1}\oplus c_{a_2}\oplus \cdots \oplus c_{a_t}$
结论：$0\le x<y\le 2^m,f(x)<f(y)$
另一个结论：$n$ 个数组成大小为 $s$ 的线性基，则能构成 $2^s$ 种不同的数，每个数出现 $2^{n-s}$ 次

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本文作者：yuzihang
本文链接：https://www.cnblogs.com/yuzihang/p/18715255.html
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