2025寒训：寒末上午（数学）Day 3

合集 - 2025寒训(5)

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3.2025寒训：寒末上午（数学）Day 302-15

4.2025寒训：寒末下午 Day 3 专题：线性基02-155.2025寒训：寒末上午（数学）Day 402-15

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复数

$i^2=-1$
$z=a+bi$
$z=r{e}^{i\theta }$
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

求${\omega }^n=1$
$\omega =e^{2\pi i\frac{k}{n}}={\omega }_n^k,{\omega }_n=e^{2\pi \frac{i}{n}}$ 称为 $n$ 次单位根

卷积

$A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$
$B(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$
$C(x)=A(x)+B(x)=\sum _{i=0}^{2n-2}{c}_i{x}^i$
$C_i=\sum _{j=1}^i{a}_j{b}_{i-j}$

FFT（DFT+IDFT）

令 $x_i={\omega }_n^i$
$A_1(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\cdots +a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1}$
$A_2(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1}$
$A(x)=A_1(x^2)+A_2(x^2)$
$\begin{array}{r}\begin{array}{c}({\omega }_n^k{)}^2=\{\begin{array}{ll}{\omega }_{\frac{n}{2}}^k,& 0\le k<\frac{n}{2}\\ {\omega }_{\frac{n}{2}}^{k-\frac{n}{+}2},& \frac{n}{2}\le k<n\end{array}\end{array}\end{array}$
递归计算 $A_j({\omega }_{\frac{n}{2}}^i)$

$b_k=\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j({\omega }_n^k{)}^j$
$a_k=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j({\omega }_n^{-k}{)}^j$

NTT

取模数 $P$ 的原根 $g$，用 $g^{\frac{(P-1)}{n}}$ 代替 ${\omega }_n$

博弈论——Nim 游戏与 SG 函数

懒得写了

见 oi.wiki

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本文作者：yuzihang
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