2025寒训：寒末上午（数学）Day 2

合集 - 2025寒训(5)

1.2025寒训：寒末上午（数学）Day 102-13

2.2025寒训：寒末上午（数学）Day 202-14

3.2025寒训：寒末上午（数学）Day 302-154.2025寒训：寒末下午 Day 3 专题：线性基02-155.2025寒训：寒末上午（数学）Day 402-15

收起

扩展中国剩余定理（可覆盖中国剩余定理）

$x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)$
$x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)$
$⋮$
$x\equiv a_k(\mathrm{mod}{m}_k)$
设 $gcd(m_1,m_2)=d$
方程有唯一解当 $a_1\equiv a_2(\mathrm{mod}d)$
使用 $exgcd$ 求解 $m_1{u}_1+m_2{u}_2=d$
则 $x\equiv a_2{\displaystyle \frac{m_1}{d}}{u}_1+a_1{\displaystyle \frac{m_2}{d}}{u}_2(\mathrm{mod}lcm)$

扩展欧拉定理

当 $a,m\in \mathbb{Z}$ 时有
$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{a}^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^b,& b<\phi (m)\\ a^{bmod\phi (m)+\phi (m)},& b\ge \phi (m)\end{array}\end{array}\end{array}(\mathrm{mod}m)$

BSGS 算法

求 $a^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$
其中 $a\perp p$
暴力枚举 $x$，复杂度 $O(p)$

取 $t=\sqrt{p}$，则有 $x=i\times t-j(0\le i\le t,0\le j<t)$
$a^{i\times t-j}\equiv b(\mathrm{mod}p)$
$a^{i\times t}\equiv b\times a^j(\mathrm{mod}p)$
$(a^t{)}^i\equiv b\times a^j(\mathrm{mod}p)$
枚举 $j$，将 $b\times a^j$ 放入哈希表中，再枚举 $i$ 查询有无对应的 $j$
复杂度 $O(\sqrt{p})$

扩展 BSGS

求 $a^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$
令 $g=gcd(a,p)$
方程变为 $\frac{a}{g}\times a^{x-1}\equiv \frac{b}{g}(\mathrm{mod}\frac{p}{g})$
重复这个过程直到 $gcd(a,p)=1$，共得到了 $k$ 个 $g$
令 $u=\prod _{i=1}^k\frac{a}{g_i},v=\prod _{i=1}^k{g}_i$
发现 $u\perp p$，存在逆元
方程变为 $a^{x-k}\times u\equiv \frac{b}{v}(\mathrm{mod}\frac{p}{v})$
变为普通的 BSGS 算法

扩展卢卡斯定理

求 $C_n^m\text{mod}p$
将 $p$ 分解为 $p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}\cdots p_n^{c_n}$
将阶乘中的 $p$ 分离出来，得 $\frac{m!}{n!(m-n)!}\text{mod}{p}^c=\frac{\frac{m!}{p_i}}{\frac{n!}{p^j}\frac{(m-n)!}{p^k}}\cdot p^{i-j-k}\text{mod}{p}^c$
可以逆元处理
剩下的部分暴力枚举即可

__EOF__

本文作者：yuzihang
本文链接：https://www.cnblogs.com/yuzihang/p/18712715.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！