2025寒训：寒末上午（数学）Day 1

合集 - 2025寒训(5)

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积性函数

定义

$\mathrm{\forall }a\perp b,f(ab)=f(a)\times f(b)$

常见积性函数

$id(n)=n$
$e(n)=[n=1]$
$\phi (n)=n\prod _{p|n,p\in \mathbb{P}}(1-\frac{1}{p})$
$I(n)=1$
$\mu (n)=0,n$ 有平方因子$mu(n)=(-1{)}^{\omega (n)},$其它情况

卢卡斯定理

$C_m^n\equiv C_{m\text{mod}p}^{n\text{mod}p}\times C_{\lfloor m/p\rfloor }^{\lfloor n/p\rfloor }$

狄利克雷卷积

$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$
可以得出
$e=\mu \ast 1$
$id=\phi \ast 1$

莫比乌斯反演

例：
$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|gcd(i,j)}d[gcd(i,j)=d]$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}d\sum _{i=1,d|i}^n\sum _{j=1,d|j}^m[gcd(i,j)=d]$
令$i^{\prime }=i/d,j^{\prime }=j/d$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}d\sum _{i^{\prime }=1}^{\lfloor n/d\rfloor }\sum _{j^{\prime }=1}^{\lfloor m/d\rfloor }[gcd(i^{\prime },j^{\prime })=1]$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}d\sum _{i^{\prime }=1}^{\lfloor n/d\rfloor }\sum _{j^{\prime }=1}^{\lfloor m/d\rfloor }e(gcd(i^{\prime },j^{\prime }))$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}d\sum _{i^{\prime }=1}^{\lfloor n/d\rfloor }\sum _{j^{\prime }=1}^{\lfloor m/d\rfloor }\sum _{d^{\prime }|gcd(i^{\prime },j^{\prime })}\mu (d^{\prime })$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}d\sum _{d^{\prime }=1}^{\lfloor n/d\rfloor }\mu (d^{\prime })\sum _{i^{\prime }=1}^{\lfloor n/d{d}^{\prime }\rfloor }\sum _{j^{\prime }=1}^{\lfloor m/d{d}^{\prime }\rfloor }1$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}d\sum _{d^{\prime }=1}^{\lfloor n/d\rfloor }\mu (d^{\prime })\lfloor n/d{d}^{\prime }\rfloor \lfloor m/d{d}^{\prime }\rfloor$
$=\sum _{T=1}^{min(n,m)}(\sum _{d|T}d\times \mu (T/d))\lfloor n/d{d}^{\prime }\rfloor \lfloor m/d{d}^{\prime }\rfloor$
$=\sum _{T=1}^{min(n,m)}\phi (T)\lfloor n/d{d}^{\prime }\rfloor \lfloor m/d{d}^{\prime }\rfloor$

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本文作者：yuzihang
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