计算机数学基础：第二章 极限

第二章 极限

1、数列极限

1.1 数列

​ 定义：依照某种规则排列着的一列数\(x_1,x_2,x_3,…,x_n\)称为数列，记做{\(x_n\)},数列中每一个数叫做数列的项，\(x_n\)叫做数列的一般项。
​ 我们可以把数列{\(x_n\)}中的\(x_n\)看作自变量为正整数\(n\)的一个函数值 \(x_n=f(n),n=1,2,3,...\)，因此，数列也是函数，它的定义域为全体正整数。

1.2 数列极限

​ 对于数列{\(x_n\)}，当 \(n→∞\)时，\(x_n\)能与某一个常数\(a\)无限地接近时，这时我们就说数列{\(x_n\)}，当 \(n→∞\)时的极限为\(a\)。
​ 定义：设有数列{\(x_n\)}，如果对于预先给定的任意小的正数\(ε\)，总存在正整数N，使得对于一切\(n>N\)时，有 \(|x_n-a|<ε\)则称\(a\)为数列{\(x_n\)}的极限，或说数列收敛于\(a\)，记作 \(\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=a\)，或当\(n→∞\)时候，\(x_n→a\).如果序列没有极限，则说数列是发散的。
数列极限的这种定义叫做数列极限的“\(ε-N\)”定义。这里\(ε\)是任意给定的正数，它主要用于反映\(x_n\)和常数\(a\)的接近程度；\(N\)是一个自然数，其与预先给定的\(ε\)有关，当\(ε\)减小时，一般地说，\(N\)将会相应地增大。此外，对于一个\(ε\)，与其相应的N并不是唯一的。
定理1 如果数列{\(x_n\)}收敛，则其极限是唯一的。
定理2 如果数列{\(x_n\)}收敛，则其一定是有界的。也即对于一切\(n(n=1,2,...)\)，总可以找到一个正数\(M\)，使\(|x_n|≤M\)由收敛数列的有界性可推得无界数列一定是发散的，也即无界数列的极限不存在。

2 函数极限

我们知道，数列可以看成是自变量为\(n\)的函数 \(x_n=f(n)\).
数列可以看成是一种特殊类型的函数极限，其自变量\(n\)是取正整数离散地无限增大。数列中\(n\)只有一种变化趋势，即\(n→∞\).
一般函数\(y=f(x)\)的自变量x是连续变化，其变化趋势有如下两种情形：
（1）、自变量\(x\)无限地接近于一个定数\(x_0\),记作\(x→x_0\);
（2）、自变量\(x\)的绝对值无限地增大,记作为\(x→∞\).

2.1 \(n→∞\)时函数的极限

​ 对于函数\(f(x)\),首先设无论\(x\)的绝对值怎样总是有意义的。如果\(|x|\)无限增大时，对应的函数值是否无限地接近于某一个常数 \(a\)，也即当\(|x|\)无限增大时，\(f(x)\)与某一常数\(a\)之差的绝对值可小于预先指定的任意小的正数\(ε\)，则此时我们就把 \(a\)叫做函数 \(f(x)\)的极限。