计算机数学基础：第一章 函数

第一章 函数

1、实数

​ 众所周知，数的概念充满了我们的生活空间。整数、分数和零统称为有理数。无理数在初等数学中已遇见过。如 \(\sqrt2\)、\(\sqrt3\)、\(π\)、\(lg5\)等等。
​ 一切有理数和无理数统称为实数。实数与数轴身上的点一一对应，而且充满数轴并没有空隙。由此可知，数轴上的每一个点的坐标标识某一个实数；反之，每一个实数必是数轴上某一点的坐标。

2、区间

​ 在某些问题的讨论中，我们往往限制在一部分实数范围内考虑，为了简明地表明部分实数，这里引进区间概念。
定义：区间是介于某两个实数之间的全体实数，并称这两个实数为区间的断点。
​ 区间又分为有限区间和无限区间两大类。

1、有限区间

（1）、开区间
​ 设\(a\)、\(b\)为两个实数，且\(a < b\),满足不等式 \(a < x < b\) 的一切实数x的全体叫做开区间，记做\((a,b)\).
（2）、闭区间
​ 设\(a\)、\(b\)为两个实数，且\(a < b\),满足不等式 \(a ≤ x ≤ b\) 的一切实数的全体叫做闭区间，记做\([ a,b ]\).
（3）、半开区间
​ 设\(a\)、\(b\)为两个实数，且\(a < b\)，满足不等式 \(a < x ≤ b\) 或 \(a ≤ x < b\) 的一切实数\(x\)的全体叫做半开区间，分别记做\(( a,b ]\)和\([ a,b)\).
​ 这里还得提及的是，区间两个端点间的距离称为区间的长度。
​ 如上述各个区间的长度均是\(b-a\).

2、无限区间

​ 两端没有限制，即满足不等式 \(-∞ < x < +∞\) 的一切实数构成的区间，记做\((-∞,+∞)\);
​ 左端没有显示，而右端有限制，即满足不等式 \(-∞ < x < b\)或者 \(-∞ < x ≤ b\) 的一切实数构成的区间记做\((-∞,b)\)或\((-∞,b]\).
​ 其表示小于或小于等于\(b\)的实数的全体。
右端没有限制，而左端有限制，即满足不等式 \(a < x < +∞\)或者 \(a ≤ x < +∞\)的一切实数构成的区间记做\((a,+∞)\)或\([a,+∞)\)

3、邻域

​ 设\(a\)与\(δ\)是两个实数，且\(δ>0\),满足不等式 \(|x-a|< δ\) 的一切实数x的全体称为点\(a\)的\(δ\)邻域，并称\(a\)为邻域的中心，\(δ\)为邻域的半径。由此显然有 \(a-δ < x < a+δ\)
​ 可见，邻域即是以点\(a\)为中心，长度为2δ的开区间\((a-δ,a+δ)\).

3、常量和变量

​ 自然现象中，我们常常遇到两种不同的量，一种是在过程的进行中始终保持不变的量，也即保持一定数值的量；还有一种是在过程的进行中不断改变的量，即可取不同数值的量，这两种量即是所谓常量和变量。
定义：在某一过程中数值保持不变的量叫做常量，数值不断变化的称为变量。
一个量是常量还是变量，并不是绝对的，其依赖于研究这个现象的所在场合。如研究一个圆的面积，他的半径\(r\)有确定值，那么\(r\)是常量。若研究若干个半径不相同的圆的面积时，\(r\)即是变量了。
​ 对于量\(x\)，其每一个值都是一个数，因此可用数轴上一个点来代表它。如果\(x\)是常量，则在数轴上用一个定点来表示，如果\(x\)是变量，则在数轴上用一个动点来表示。

4、函数

4.1、函数
自然界中，每一事物的运动都与它周围其他事物相互联系，并相互制约，如圆的面积\(s\)依赖于它的半径\(r\)，其\(s\)与\(r\)之间的关系由公式 \(s=πr^2\) 确定。
又如，在自由落体运动中，落下的距离s随时间t在变化，它们的依赖关系用公式 \(s=\frac{1}{2}gt^2\) 来确定，其中\(g\)为重力加速度。
​在数学中，对于同一变化过程中变量之间的这种确定关系就是所谓函数关系。
​定义：设\(x\)和\(y\)是两个变量，当\(x\)在其允许取值范围内取某个特定值时，变量\(y\)依赖某种确定的关系也有一个确定的值与之对应。则称\(y\)是\(x\)的函数。记做 \(y=f(x)\)。其中\(x\)叫做自变量，\(y\)叫做因变量，自变量\(x\)的允许取值范围叫做函数的定义域。​
\(f(x)\)也表示与\(x\)值相对应的函数值，全体函数值缩成的集体叫做函数的值域。
\(y\)是\(x\)的函数也可记为 \(y=g(x)\)、\(y=φ(x)\)、\(y=F(x)\)。
4.2、函数的表示方法
​ 表示函数的对应关系可以用各种方式表达出来，通常有解析法、列表法和图像法。
(1)、解析法
​ 解析法即是对两个变量之间的函数关系用解析式子来表示，也即用数学式子来表示。如\(y=2x^2\)、\(y=sinx\)等等，解析法又称为分析法。
(2)、列表法
列表法即是对两个变量之间的函数关系用表格来表示。
(3)、图像法
图像法即是对两个变量之间的函数关系用图像表示。
必须指出的是，两个变量的函数关系不一定由一个解析式给出，对于不同的定义域由不同的解析式给出。如 \(y=f(x)=x+1(x<0),0(x=0),x-1(x>0)\)
4.3 复合函数
​ 定义：设\(y\)是\(u\)的函数\(y=f(u)\)，而\(u\)又是\(x\)的函数 \(u=μ(x)\)，则y称为x的复合函数，记作 \(y=f[φ(x)]\)其中\(u\)称为中间变量。
通常我们把无中间变量的函数称为简单函数。

5、函数的特征

5.1 函数的单值性和多值性

​ 定义：设有函数 \(y=f(x)\)，若对于自变量x的一个值，因变量\(y\)只有一个确定的值与之对应，则称为这种函数为单值函数。否则称这种函数为多值函数。

5.2 函数的奇偶性

​ 定义：对于函数 \(y=f(x)\) ，若 $ f(-x)=-f(x)$ 则称该函数为奇函数；若 \(f(-x)=f(x)\) 则称该函数为偶函数。
显然，偶函数的图形对称于\(y\)轴。而奇函数的而图形对称于原点。

5.3 函数的周期性

​ 定义：对于函数 \(y=f(x)\),若存在一实数 \(T≠0\)，有 \(f(x+T)=f(x)\) 则称该函数为以T为周期的周期函数，否则称\(f(x)\) 为非周期函数。

5.4 函数的单调递减性

​ 定义：对于函数 \(y=f(x)\)，若在区间\((a,b)\)内有任意两点 \(x_1\)、\(x_2\)，当\(x_1\)<\(x_2\)时，有 \(f(x_1)<f(x_2)\)则称该函数在区间\((a,b)\)内为单调增加；当\(x_1\) <\(x_2\)时，有 \(f(x_1)\)>\(f(x_2)\)则称该函数在区间\((a,b)\)内为单调减少。
显然，单调增加函数即是沿横轴方向上升，单调减少函数即是沿横轴方向下降。
同样，我们可以定义无限区间上的单调增加或单调减少的函数，在整个区间上为单调增加或单调减少的函数称为单调函数。

5.5 函数的有界性

​ 定义：对于函数 \(y=f(x)\)，若存在一个正数\(M\)，对定义域上的任意\(x\)，总有\(|f(x)|≤M\)则称\(f(x)\)为定义域上的有界函数。若这样的数\(M\)不存在，则称\(f(x)\)为定义域上的无界函数.

6、反函数

​ 定义：对于函数\(y=f(x)\)，若将\(y\)当做自变量，\(x\)当做因变量，用\(y\)写出\(x\)的表达式\(x=μ(y)\)叫做\(f(x)\)的反函数，称\(f(x)\)为直接函数。
不难知道反函数的图形与直接函数的图形关于直线\(y=x\)对称。

7、初等函数

7.1 基本初等函数

​ 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，他们分别为
​ 1、幂函数 \(y=x^μ\)(μ是实数)
​ 2、指数函数 \(y=a^x(a>0，a≠1)\)
​ 3、对数函数 \(y=log_ax(a>0,a≠1,,x>0)\)
​ 4、三角函数 \(y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx\)
​ 5、反三角函数 \(y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx\)
此外函数\(y=c\)(c为常数) 称为常值函数，它的图形是平行于\(x\)轴的直线。

7.2 初等函数

​ 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的符合步骤而构成，并能用解析式子表示的函数都称为初等函数。
最后我们还得指出的是，只有一个自变量的函数称为一元函数，有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数。