预习浮点数的表示

1、浮点数的表示格式

   定义：以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。我们计算机的容量有限，不可能对每个数都用特别多的位数来表示，比如说2×10^99，这种非常大的数不可能用定点数来表示，所以呢利用浮点数就可以在位数有限的情况下扩大数的表示范围，同时能保持一定的有效精度。

  通常情况下，浮点数表示为：N = r^E × M

  式子里面r是浮点数阶码的底在计算机中是隐含的，通常情况下r=2。E和M都是带符号的定点数，E叫做阶码，M叫做尾数。其中E的大小越大，能表示的数范围越大，M的位数越大，数的有效精度越高。

 浮点数的一般格式：

  J是阶符，表示阶码的符号，S是数符，表示浮点数的符号，阶符J和阶码的m位合起来表示浮点数的表示范围和小数点的实际位置，n位尾数反映了浮点数的精度。

2、浮点数的规格化

  两种规格化操作：

  左规：当浮点数运算结果是非规格化数的时候，要进行规格化操作，将尾数算术左移一位，阶码减1（基数为2时），左规操作可能要进行多次。

  右规：当浮点数运算结果尾数出现溢出的时候，将尾数算术右移一位，阶码加1。需要右规操作的时候只需要操作一次。

  规格化浮点数的尾数M的绝对值应该满足这样的关系：1/r ≤ |M| ≤ 1（r就是我们的阶码的底，也是基数）。

  以r=2为例：

  1、原码尾数规格化后：正数为0.1xxxxxx形式，最大值为0.11......1;最小值为0.100......0。负数为1.1xxxxxx形式，最大值表示为1.10......0;最小值表示为1.11......1。

  2、补码尾数规格化后：正数同原码正数。负数为1.0xxxxxx形式，最大值表示为1.01......1;最小值表示为1.00......0。

  需要注意的是基数，刚刚是以基数为2时的规格化形式，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。基数不同的时候，规格化的形式不同，当基数为4时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为0；基数为8时，原码规格化形式的尾数最高三位不全为0。

  如何判断一个浮点数是否是规格化数：规格化浮点数的尾数小数点后的第一位一定是个非零的数。因此对于原码编码的尾数来说，只要看尾数的第一位是否为1就行；对于补码表示的尾数，只要看符号位和尾数最高位是否相反。（IEEE 754标准的浮点数尾数是用原码编码的）

3、IEEE 754标准

  IEEE 754标准采用的浮点数的格式：

  ms为数符，表示浮点数的符号，E为阶码部分，用移码表示，M是尾数部分，用原码表示。

  IEEE 754标准规定常用的浮点数格式有短浮点数（单精度、float）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数。

  短浮点数数符占1位；阶码占8位，以2为底，用移码表示，阶码偏置值为127（阶码全1表示无限大，E的范围是1~254，空出全0表示非规格化数）；尾数部分为23位。

  长浮点数数符占1位；阶码占11位，以2为底，用移码表示，阶码偏置值为1023（阶码全1表示无限大，E的范围是1~2046，空出全0表示非规格化数）；尾数部分为52位。

  在IEEE754标准中长浮点数和短浮点数的尾数采用隐藏位策略的原码表示，什么意思呢。举个例子来说，以短浮点数为例，尾数占23位。我们知道，规格化浮点数后，尾数最高位一定是一位有效值，对于二进制浮点数来说，尾数最高位一定是1，那么我们为了充分利用资源，既然最高位一定是1了，我们干脆就把它隐藏好了，因此尾数实际上是24位，在表示的时候尾数23位是纯小数。比如说十进制12（1100），转化为二进制浮点数规格化后为1.1×2^3，这里我们就把整数部分的1 隐藏了，整数部分的1不存在23位尾数中，存的时候就是这样的32位：0   1000 0010   1000 0000 0000 0000 0000 000。