RSA原理说明
长度,建议至少1024。模数n(常取默认65537)两边都要用。
指数e,和n一起就是公钥。
指数d,和n一起就是私钥。
质数p和q用于生成密钥对,然后就丢弃不公开。
一。密钥对的生成步骤
1、随机选择两个不相等的质数p和q。
2、计算p和q的乘积n。
3、计算p-1和q-1的乘积m。
4、随机选个整数e,e与m要互质,且0<e<m。
5、计算e的模反元素d。
6、n,e组成公钥,n,d组成私钥。
用公钥(n, e)加密:明文e ≡ 密文 (mod n)
用私钥(n, d)解密:密文d ≡ 明文 (mod n)
上述表达式是同余式,也就是“≡”两边mod n是相等的。mod运算就是取被除数 / 除数得到的余数,运算符是%。比如5%3=2。所以上式也可表达成
用公钥(n, e)加密:密文 = 明文e % n
用私钥(n, d)解密:明文 = 密文d % n
一。
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
i mod 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 |
i mod 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(a % 4)是以4为周期在循环,(a % 7)是以7为周期在循环,而且数对(a % 4, a % 7)在这个[0,21]之间并没有出现重复,也就是说由(a % 4, a % 7)可以确定a的值
如果n个数互质,且乘积为P,有一个未知数M,已知M分别除以n个数的余数,那个在0<M<P的范围内,可以确定唯一的M值。
二。
13 * 77 = 1001 => 1001 % 1000 = 1
=> 1001 ≡ 1 (mod 1000)
=> a * 1001 ≡ a (mod 1000)
就是说任何数乘以1001除以1000得到余数是本身。因此:
(a * 1001) % 1000 = (a * 13 * 77) % 1000 = ((a * 13) % 1000) * 77) % 1000
理解一下就能发现,我们并不需要知道a * 13的积是多少,而是知道它除以1000的余数就行了,因为反正最后都是要模1000,那事先拿一部分来模1000并不影响结果。
除法类似,两个数乘积除以另一个数,那事先用一个乘数除以除数,得到的值再乘以另一个乘数再除,并不影响结果。这个思想,也是RSA用来当被模数过大时优化计算力的算法。
你心想三位数,乘以13,告诉我乘积的后三位数,我就能知道你想的是哪个数!
假如你想的是233,233*13=3029,所以你告诉我的是029,我只要把29*77=2233,积的后三位数233就是你心想的数。
这里就有点非对称的影子了,(1000, 13)就是公钥,(1000, 77)就是私钥。
3.费马小定理
☆ p = 3
22 - 1 = 3, 24 - 1 = 15 = 3×5, 26 - 1 = 63 = 3×21, 28 - 1 = 255 = 3×85, 210 - 1 = 1023 = 3×341, ...
费马指数:2, 4, 6, 8, 10, ......
☆ p = 5
24 - 1 = 15 = 5×3, 28 - 1 = 255 = 5×51, 212 - 1 = 4095 = 5×819, 216 - 1 = 65535 = 5×13107, ...
费马指数:4, 8, 12, 16, ......
☆ p = 7
23 - 1 = 7 = 7×1, 26 - 1 = 63 = 7×9, 29 - 1 = 511 = 7×73, 212 - 1 = 4095 = 7×585, ...
费马指数:3, 6, 9, 12, ......
☆ p = 11
210 - 1 = 1023 = 11×93, 220 - 1 = 1048575 = 11×95325, 230 - 1 = 1073741823 = 11×797612893, ...
费马指数:10, 20, 30, ......
参考:
https://toutiao.io/posts/u6ehd/preview
图片:http://introcs.cs.princeton.edu/java/99crypto/