傅里叶变换 VS 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的公式

 

傅里叶变换公式

 

拉普拉斯变换是将时域映射到s plane上，而傅里叶变换实际是将时域 映射在s-plane的虚轴上, 

傅里叶变换可以看作拉普拉斯变换  的一种特例

 

1.推导傅里叶变换

 

将其发展延伸，构造出了其他形式的积分变换:

 

 

 

从数学的角度理解积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数。也可以理解成是算内积，然后就变成一个函数向另一个函数的投影：

K（s，t）积分变换的核(Kernel)。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。学术一点的说法是：向核空间投影，将原问题转化到核空间。

所谓核空间，就是这个空间里面装的是核函数。下表列出常见的变换及其核函数：

 

当然，选取什么样的核主要看你面对的问题有什么特征。不同问题的特征不同，就会对应特定的核函数。把核函数作为基函数。将现在的坐标投影到核空间里面去，问题就会得到简化。

之所以叫核，是因为这是最核心的地方。为什么其他变换你都没怎么听说过而只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换呢？因为复指数信号才是描述这个世界的特征函数