数学之道-微积分
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我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分。先讲定积分,不过千万不能用现在的定积分符号,避免学生误认为
定积分是由不定积分发展而来的。讲自古就有的积分思想,讲分割求和取极限的方法,自创一套定积分的符号。然后另起炉灶,开始讲微分,
讲无穷小,讲变化量。最后才讲到,随着 x 一点一点的增加,曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的
函数值吗?因此,反过来,为了求出一个函数对应的曲线下方的面积,只需要找到一个新函数,使得它的微分正好就是原来那个函数。啪,
微积分诞生了
在线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换)。
向量X矩阵
矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果,它显然满足结合律,但不满足交换律。
主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思,因此它叫做单位矩阵。
矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵,就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回去了的意思,说明矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。
行列式的真正定义:每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此,
一、单位矩阵的行列式当然就为 1
二、某行全为 0 的行列式显然为 0 (因为某一维度会被无视掉,线性变换会把整个平面压扁)
三、|A·B| 显然等于 |A|·|B|
四、行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了。
运动是相对的
让我们想想,达成同一个变换的结果,比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去,你可以有两种做法。
第一,坐标系不动,点动,把(1, 1)点挪到(2, 3)去。
第二,点不动,变坐标系,让x轴的度量(单位向量)变成原来的1/2,让y轴的度量(单位向量)变成原先的1/3
矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵,不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去,
而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)去。而且,变换点与变换坐标系,具有异曲同工的效果。
对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基,就得到一个不同的矩阵。
所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。
但是这样的话,问题就来了,如果你给我两张猪的照片,我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢?同样的,你给我两个矩阵,
我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢?如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述,那就是本家兄弟了,见面不认
识,岂不成了笑话。
好在,我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质,那就是:
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(选定了不同的基,也就是选定了不同的坐标系),则一定能找到一个非奇异
矩阵P,使得A、B之间满足这样的关系:
A = P-1BP (矩阵P是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系)
所谓相似矩阵,就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。
按照这个定义,同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点,不过能让人明白。
Z变换,拉普拉斯变换,线性变换,非线性变换本质上,都只是在不断的切换观察事物的角度,从不同的角度看过去,同一个东西,会有不
一样的图样。所谓的“跃迁运动”只不过是我们把照相机从对象的正面放到了对象的后面,看到了同一个对象的两个不同角度的照片罢了。人
们会产生“两个东西发生了运动”的错觉。在我看来,跃迁,并不是一种运动,而是,我们观察角度发生了瞬间转变时,造成的视觉上的冲击。
量子,还是在那里,不增不减,只不过我们的摄像机换了一个摄像角度。
线性空间中的任何一个对象,通过选取基和坐标的办法,都可以表达为向量的形式。
一. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间,
也就是说,这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基,那么任何一个这样的多项式都可
以表达为一组n+1维向量,其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是,基的选取有多种办法,
只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了,所以这里先不说,提一下而已。
二. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体,构成一个线性空间。
也就是说,这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数,根据魏尔斯特拉斯定理,一定可以找
到最高次项不大于n的多项式函数,使之与该连续函数的差为0,也就是说,完全相等。这样就把问题归结为问题一。