复杂度分析

事后统计法

把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。数据结构和算法书籍管这种方法叫事后统计法。

事后统计法的局限性：

1. 测试结果非常依赖测试环境；
2. 测试结果受数据规模的影响很大。

大O复杂度表示法

function cal(n){
        let sum = 0;
        let i=1;
        for(;i<=n;i++){
            sum = sum + i;
        }
        return sum;
    }

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

function cal(n){
        let sum = 0;
        let i=1;
        let j=1;
        for(;i<=n;i++){
            j=1;
            for(;j<=n;j++){
                sum = sum + i*j;
            }
        }
        return sum;
    }

我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n²遍，所以需要 2n² *unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比，即T(n) = O(f(n))。

其中，T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n² +2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n²)。

时间复杂度分析方法

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码。

在第一个例子中，中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。

在第二个例子中，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n²)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。

function cal(n){
        let ret = 0;
        let i=1;
        for(;i<n;i++){
            ret = ret + f(i)
        }
        return ret
    }
    function f(n){
        let sum = 0;
        let i = 1;
        for(;i<n;i++){
            sum = sum + i
        }
        return sum
    }

在这个例子中，单独看cal()函数的时候，假设f()只是一个普通的操作，那么第4~6行的时间复杂度就是T1(n) = O(n)，但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n²)。

 复杂度量级分类

 常见的复杂度量级可以粗略的分为两类：多项式量级和非多项式量级

 多项式量级：

• 常量阶O(1)
• 对数阶O(logn)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlogn)
• 平方阶O(n²)、立方阶O(n³) .... k次方阶O(n^k)

非多项式量级：

• 指数阶O(2ⁿ)
• 阶乘阶O(n!)

 常见多项式时间复杂度

 1、O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如下面这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

let i=8;
let j=6;
let sum = i+j;

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2、O(logn)、O(nlogn)

let i=0;
2 while(i<=n){
   i=i*2
}

根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

 

我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2 =n 求解 x，x= log₂n，所以这段代码的时间复杂度就是O(log₂n)

 如果把上面的代码稍微修改一下：

let i=0;
    while(i<=n){
        i=i*3
    }

这段代码的时间复杂度就是O(log₃n)了。

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？我们知道，对数之间是可以互相转换的，log₃n 就等于 log₃2 * log₂n，所以 O(log₃n) = O(C * log₂n)，其中 C=log₃2 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log₂n) 就等于 O(log₃n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn)了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3、O(m+n)、O(m*n)

function cal(m,n){
        let sum1 = 0;
        let i=1;
        for(;i<m;i++){
            sum1 = sum1 + i
        }

        let sum2 = 0;
        let j = 1;
        for(;j<n;j++){
            sum2 = sum2+j
        }
        return sum1 + sum2
    }

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) =O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。