独立随机变量乘积方差与方差乘积之间的大小关系证明

要解决的问题很简单如题，判断乘积方差与方差乘积之间的大小关系。
不得不说，乍一看真的很简单-_- 就是那种简单套路，随便一比应该就出来了吧
自己一去做好像就不是这么回事了... 上网查了一下基本没有详细步骤，就把我最后的智慧结晶贴出来（虽然这是数学证明的常用套路）

问题

随机变量\(A\)和\(B\)相互独立，试证明\(D(AB) \ge D(A)D(B)\)。

分析

题目中的条件是相互独立，那么势必要用到协方差为0的条件：\(E(AB) = E(A)E(B)\)

解答

首先将\(AB\)的方差进行拆解
\(\begin{array}{l} D(AB) = E{(AB)^2} - {(E(AB))^2}\\ = E({A^2}{B^2}) - {(EAEB)^2}\\ = E{A^2}E{B^2} - {(EAEB)^2} \end{array}\)

然后将\(A\)和\(B\)的方差进行拆解，使用配凑法得到结果。
\(\begin{array}{l} DADB = \left( {E{A^2} - {{(EA)}^2}} \right)\left( {E{B^2} - {{(EB)}^2}} \right)\\ = E{A^2}E{B^2} - E{A^2}{(EB)^2} - {(EA)^2}E{B^2} + {(EA)^2}{(EB)^2}\\ = E{A^2}E{B^2} - {(EA)^2}{(EB)^2} - (E{A^2}{(EB)^2} + {(EA)^2}E{B^2} - 2{(EA)^2}{(EB)^2})\\ = E{A^2}E{B^2} - {(EA)^2}{(EB)^2} - \left[ {\left( {{{(EB)}^2}DA} \right) + \left( {{{(EA)}^2}DB} \right)} \right]\\ = DAB - \left[ {\left( {{{(EB)}^2}DA} \right) + \left( {{{(EA)}^2}DB} \right)} \right] \end{array}\)