马尔可夫不等式与切比雪夫不等式

马尔可夫不等式

若随机变量\(X\)只取非负值，则任意\(a>0\)，有\(P(X>=a)<=\frac{E(X)}{a}\)
该不等式的证明主要是利用对期望概念的理解，根据下图的计算过程走就是了。

该不等式对随机变量的信息利用不够全面，只使用了期望进行计算，所以计算出来的概率上界比较宽松。
据此推出的切比雪夫不等式应用比较广泛。

切比雪夫不等式

切比雪夫不等式的一种推导方式是马尔科夫不等式的特殊情况。
取\(Y=(X-\mu)^2\)，则有\(E(Y)=\sigma^2\)，将其带入到马尔可夫不等式中即可得证。

还有一种推导方式是利用密度函数计算，具体过程是从参考链接2搬来的。

参考链接：
Markov不等式的直观理解 - 分析101的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/358041844

切比雪夫不等式及其简单证明 - 黄小宝的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/146451175