Bell(hdu4767+矩阵+中国剩余定理+bell数+Stirling数+欧几里德)

Bell

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Description

What? MMM is learning Combinatorics!? 
Looks like she is playing with the bell sequence now: 
bell[n] = number of ways to partition of the set {1, 2, 3, ..., n} 

e.g. n = 3: 
{1, 2, 3} 
{1} {2 3} 
{1, 2} {3} 
{1, 3} {2} 
{1} {2} {3} 
so, bell[3] = 5 

MMM wonders how to compute the bell sequence efficiently. 

 

Input

T -- number of cases 
for each case: 
　　n (1 <= n < 2^31) 

 

Output

for each case: 
　　bell[n] % 95041567 

 

Sample Input

6

1

2

3

4

5

6

 

Sample Output

1

2

5

15

52

203

 

 

首先，我很高兴终于把这题给解出来了！！！自己有几个难点一直没想通，今天无聊的时候一想。然后思路莫名奇妙的顺了，一切都变的理所当然。。。然后，我趁热打铁，把思路一理，就被我A了！

题意：就是求n个数的非空集合的划分方法数；

例如n = 3

{1, 2, 3}

{1}  {2, 3}

{1, 2} {3}

{1, 3} {2}

{1} {2} {3}

所以Bell(3) = 5

给你一个n，求Bell(n) % 95041567的值

 

这道题涉及的知识比较多，，，本人觉得有一定的难度系数，没理解的，建议可以先从入门题刷起；

思路：

　　首先必须了解一个概念贝尔数（来自维基百科）& Stirling数（不懂的点链接）；

　　其次，如果你不懂Stirling数，那么自己动手推一下，其实这个还是简单的，杭电有一题简单的题，可以练习下：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2512 相信很多同学都做过了，只是当时不知道是Stirling数，这里是第二类Stirling数；然后贝尔数呢，就是第二类Stirling数的和；

通过上面这个公式，我们可以利用矩阵计算大于n的贝尔数，方法是利用中国剩余定理，结合欧几里德和同余方程；首先我们输入n(假设，n>p，p是95041567的质因子，eg:n=50)，对n<50的Bell数进行预处理，构造一个p*p的矩阵；

利用公式求出，他们的余数存入数组at[i];质因子m[5]={31,37,41,43,47};利用中国剩余定理；求得余数！

 

转载请注明出处：寻找&星空の孩子   

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4767

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long
#define mod 95041567
#define MM 50

int m[5]={31,37,41,43,47};
int Sti[MM][MM],bell[MM][MM];
int at[5];//各项余数

void stirling2()
{
    memset(Sti,0,sizeof(Sti));
    Sti[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=MM;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            Sti[i][j]=(int)(Sti[i-1][j-1]+((LL)j*(LL)Sti[i-1][j])%mod)%mod;
        }
    }
}
void init()
{
    stirling2();
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        bell[i][0]=1;
        for(int j=1;j<m[i];j++)
        {
            bell[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=j;k++)
            {
                bell[i][j]=(bell[i][j]+Sti[j][k])%m[i];
            }
//            printf("%d\t%d\n",j,bell[i][j]);
        }
    }
}
struct Matrix
{
    int mat[MM][MM];
};

Matrix multiply(Matrix a,Matrix b,int M)
{
    Matrix c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    for(int i=0;i<M;i++)
    {
        for(int j=0;j<M;j++)
        {
            if(a.mat[i][j]==0)continue;
            for(int k=0;k<M;k++)
            {
                if(b.mat[j][k]==0)continue;
                c.mat[i][k]=(c.mat[i][k]+a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%M;
            }
        }
    }
    return c;
}
Matrix quickmod(Matrix a,int n,int M)
{
    Matrix res;

    for(int i=0;i<M;i++)
    {
        for(int j=0;j<M;j++)
            res.mat[i][j]=(i==j);
    }

    while(n)
    {
        if(n&1) res=multiply(res,a,M);
        n>>=1;
        a=multiply(a,a,M);
    }
    return res;
}

int work(int n,int M,int k)
{
    Matrix per;//基础矩阵；
    memset(per.mat,0,sizeof(per.mat));
    per.mat[0][M-1]=1;

    for(int i=1;i<M;i++)
    {
            per.mat[i][i]=per.mat[i][i-1]=1;
    }

    Matrix tmp=quickmod(per,n/(M-1),M);

    int ans[MM];
    for(int i=0;i<M;i++)
    {
        ans[i]=0;
        for(int j=0;j<M;j++)
        {
            ans[i]=(ans[i]+bell[k][j]*tmp.mat[i][j])%M;
        }
    }
    return ans[n%(M-1)];
}
void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int &y)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
int China(int r)
{
    int Mc=1;
    int Mi,d,x,y,as=0;
    for(int i=0;i<r;i++)
    {
        Mc*=m[i];
    }
    for(int i=0;i<r;i++)
    {
        Mi=Mc/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],d,x,y);
        as=(as+Mi*x*at[i])%Mc;
    }
    if(as<0) as+=Mc;
    return as;
}
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);

    init();
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<5;i++)
        {
            at[i]=work(n,m[i],i);
        }
        int sol=China(5);
        printf("%d\n",sol);
    }

    return 0;
}

 

 

时间过的好快，居然要期末考了，，，在学校的日子也不多了，aking2015......为了我们共同的梦！fighting！