线性递推关系与矩阵乘法

对于一般的具有常系数线性递推关系的递推数列，若需要很快算出某一项的精确值，一般的方法是求出特征方程的解然后解出这个递推关系的通项公式。可是随着递推关系阶数的升高，解特征方程的难度也逐渐增大，甚至在递推关系阶数大于 5 之后，特征方程的次数随之超过 5，根本没有代数解法。本文利用矩阵乘法，提出了一个在 O(k^3 ⌈logn⌈) 的时间复杂度内算出 k 阶常系数线性递推数列第 n 项的精确值的算法，并利用转移矩阵和特征方程的联系，把这个算法的时间复杂度优化到了 O(k^2 ⌈logn⌉).