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摘要： 投影 上一节提到投影矩阵$P=A(A^TA)^{ 1}A^T$能将$\boldsymbol{b}$投影到$A$的列空间上。如果$\boldsymbol{b}$垂直于列空间，则$\boldsymbol{b}$在左零空间$N(A^T)$中，并且$P\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0 阅读全文

摘要： 投影 如果有一向量$\boldsymbol{b}$和向量$\boldsymbol{a}$所在的直线，该直线上哪一点离$\boldsymbol{b}$最近？ 由上图可以看到，经过$\boldsymbol{b}$且与$a$所正交的直线和$\boldsymbol{a}$所在直线的交点$\boldsymbo 阅读全文

摘要： 本节主要提到向量、基以及子空间 正交 （orthogonal）的概念，符号是$\perp$。 矩阵的行空间和零空间是正交的，列空间和左零空间是正交的。 正交向量 正交和另一个以往熟知的词—— 垂直 （perpendicular）是等价的，如果两个向量之间的角是$90^{\circ}$，则两个向量是正 阅读全文

摘要： 问题1 假设$\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$和$\boldsymbol{w}$是$\mathbb{R}^7$中的非零向量。他们生成了$\mathbb{R}^7$中的子空间，该子空间的维度可能是多少？ 答案：$1$、$2$ 和 $3$都可能是答案，子空间维度不可能更高 阅读全文

摘要： 借助矩阵和向量这些线性代数中的工具，能够使我们更好地理解其它科学中的系统。例如化学家通常使用行向量化简更好地理解哪些元素参与了复杂的化学反应。本节课中将探讨线性代数在电路中的应用。 图和网络 图 （graph）是一些由边连接的节点的集合。下图展示了一幅小图的节点数$n=4$，边数$m=5$： 在图中 阅读全文

摘要： 新向量空间 之前讨论了很多关于$\mathbb{R}^n$中的向量，接下来讨论任意满足向量加法和数乘的“向量”的向量空间 $3\times 3$ 矩阵 上一节提到了所有$3\times 3$矩阵组成的空间$M$和其中一些子空间：所有$3\times 3$的对称矩阵$S$；所有$3\times 3$的 阅读全文

摘要： 本节主要讨论矩阵相关的四个基本子空间和它们之间的关系。 四个子空间 任何一个$m\times n$的矩阵$A$能确定四个子空间（可能仅仅包含零向量）。 列空间 $C(A)$ 列空间由$A$的列向量的所有线性组合组成，是$\mathbb{R}^m$中的向量空间。 零空间 $N(A)$ $A$的零空间由 阅读全文

摘要： 线性无关 假设$A$是$m\times n$矩阵，并且$m 阅读全文

摘要： 本节主要重点是，什么条件下$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$有解？如何去描述这些解？ 关于$\boldsymbol{b}$的可解条件 继续使用上一节的例子： $$ A= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 阅读全文

摘要： 计算零空间 矩阵$A$的零空间由使$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的向量$\boldsymbol{x}$组成。 假设： $$ A= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 阅读全文