12 2018 档案
摘要：上一节主要介绍了特征值和特征向量的概念，以及如何求解特征值和特征向量。本节内容主要有：如何对角化一个有 $n$ 个线性无关特征向量的矩阵、如何利用对角化简化计算。 对角化一个矩阵 $S^{ 1}AS=\Lambda$ 如果矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，将这些特征向量作为列向量合并为
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摘要：特征值和特征向量 矩阵 $A$ 的作用类似函数，输入向量 $\boldsymbol{x}$ ，输出 $A\boldsymbol{x}$。如果 $\boldsymbol{x}$ 平行于 $A\boldsymbol{x}$，则 $\boldsymbol{x}$ 为 。用数学方式表达则为： $$ A\bo
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摘要：$A^{ 1}$的公式 $$ \left[\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array}\right]^{ 1}= \frac{1}{ad bc} \left[\begin{array}{rr} d & b\\ c & a \end{array}\right]
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摘要：行列式公式 行列式有如下三个特性： 1. $\text{det }I=1$ 2. 交换行会反转行列式符号 3. 行列式与矩阵每行的元素呈线性关系 上节通过上述三个特性推导出了七个结论，通过这十个特性去找求$2\times 2$矩阵行列式的公式： $$ \begin{aligned} \left|\b
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摘要："维基百科 雅可比矩阵" 假设某函数从$\mathbb{R}^n$映射到$\mathbb{R}^m$，则其雅可比矩阵是从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的线性映射，意义在于表现一个多变量向量函数的线性逼近，因此雅可比矩阵类似单变量函数的导数。假设$F:\mathbb{R}^
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摘要：行列式 课程已经进行一半了，接下来的主要话题是 行列式 （determinant）和 特征值 （eigenvalue）。 行列式是与任意方阵相关的一个实数，通常用$\text{det }A$或者$|A|$表示。行列式包含了很多关于矩阵的信息，当行列式不为$0$时，矩阵是可逆的。 性质 再深入学习行列
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摘要：本节将介绍关于正交性质的最后一部分。使用标准正交基或者列为标准正交的矩阵会简化计算过程。Gram Schmidt正交化能够将任意一组基转换为标准正交基，转换前后的基所生成的空间一致。 标准正交向量 一组向量$\boldsymbol{q}_1,\boldsymbol{q}_2,\cdots,\bold
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摘要：投影 上一节提到投影矩阵$P=A(A^TA)^{ 1}A^T$能将$\boldsymbol{b}$投影到$A$的列空间上。如果$\boldsymbol{b}$垂直于列空间，则$\boldsymbol{b}$在左零空间$N(A^T)$中，并且$P\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0
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摘要：投影 如果有一向量$\boldsymbol{b}$和向量$\boldsymbol{a}$所在的直线，该直线上哪一点离$\boldsymbol{b}$最近？ 由上图可以看到，经过$\boldsymbol{b}$且与$a$所正交的直线和$\boldsymbol{a}$所在直线的交点$\boldsymbo
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摘要：本节主要提到向量、基以及子空间 正交 （orthogonal）的概念，符号是$\perp$。 矩阵的行空间和零空间是正交的，列空间和左零空间是正交的。 正交向量 正交和另一个以往熟知的词—— 垂直 （perpendicular）是等价的，如果两个向量之间的角是$90^{\circ}$，则两个向量是正
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摘要：问题1 假设$\boldsymbol{u}$、$\boldsymbol{v}$和$\boldsymbol{w}$是$\mathbb{R}^7$中的非零向量。他们生成了$\mathbb{R}^7$中的子空间，该子空间的维度可能是多少？ 答案：$1$、$2$ 和 $3$都可能是答案，子空间维度不可能更高
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摘要：借助矩阵和向量这些线性代数中的工具，能够使我们更好地理解其它科学中的系统。例如化学家通常使用行向量化简更好地理解哪些元素参与了复杂的化学反应。本节课中将探讨线性代数在电路中的应用。 图和网络 图 （graph）是一些由边连接的节点的集合。下图展示了一幅小图的节点数$n=4$，边数$m=5$： 在图中
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摘要：新向量空间 之前讨论了很多关于$\mathbb{R}^n$中的向量，接下来讨论任意满足向量加法和数乘的“向量”的向量空间 $3\times 3$ 矩阵 上一节提到了所有$3\times 3$矩阵组成的空间$M$和其中一些子空间：所有$3\times 3$的对称矩阵$S$；所有$3\times 3$的
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摘要：本节主要讨论矩阵相关的四个基本子空间和它们之间的关系。 四个子空间 任何一个$m\times n$的矩阵$A$能确定四个子空间（可能仅仅包含零向量）。 列空间 $C(A)$ 列空间由$A$的列向量的所有线性组合组成，是$\mathbb{R}^m$中的向量空间。 零空间 $N(A)$ $A$的零空间由
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摘要：线性无关 假设$A$是$m\times n$矩阵，并且$m
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