MIT 18.06 linear algebra lecture 20 克拉默法则 逆矩阵 体积 笔记
\(A^{-1}\)的公式
那么如何求\(3\times 3\)或者\(n\times n\)矩阵的逆呢？并且希望利用\(\frac{1}{\text{det }A}\)参与其中，在上面\(2\times 2\)矩阵的例子中，发现有代数余子式矩阵\(\left[\begin{array}{rr}d&-c\\-b&a\end{array}\right]\)，在利用行列式求逆矩阵的过程中，代数余子式也参与其中。
事实上：
其中，\(C\)是代数余子式矩阵（注意到转置符号）。\(A\)第一行的代数余子式，对应\(A^{-1}\)中的第一列。
通过代数余子式计算，\(A\)行列式需要将\(n\)项和对应的\(n-1\)矩阵对应的代数余子式相乘，相比这种方法，使用高斯-约尔当消元法求的行列式更为简单。
下面简单验证下\(AC^T=(\text{det }A)I\)：
通过乘法得到的矩阵的第一行第一列的元素是：
\(AC^T\)对角线上的每个元素都是上面计算得到的结果。
为了完整证明\(AC^T=(\text{det }A)I\)，需要检查\(AC^T\)对角线以外的元素为零。在二乘二的矩阵中，\(A\)的第一行乘\(C^T\)的第二列为 \(a(-b)+b(a)=0\) 。在高维空间中，\(A\)第一行与C^T第二列的乘积可以看作是第一行第二行相同的矩阵（奇异矩阵）的行列式，故乘积为零。所以 \(A^{-1}=\frac{1}{\text{det }A}C^T\) 。通过这个式子，可以了解当矩阵变化时，逆矩阵会如何变化。
克拉默法则（关于 \(\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\)）
如果 \(A\) 是非奇异矩阵时，如果 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) ，则 \(\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\) ，结合 \(A^{-1}=\frac{C^T}{\text{det }A}\)，有：
克拉默（Crammer's rule）法则提供了一种分解上述等式的方式。为了得到克拉默法则，将 \(\boldsymbol{x}\) 的每个部分进行单独分析。因为 \(C^T\boldsymbol{b}\) 的第 \(i\) 部分是一组代数余子式和数字乘积之和，也可以看作是矩阵 \(B_j\)的行列式，则有：
\(B_j\) 是矩阵 \(A\) 中的第 \(j\) 列替换为 \(\boldsymbol{b}\) 得到的：
但是需要记住的是，使用克拉默法则计算并没有使用消元法效率高。
\(|\text{det }A|=\text{盒子的体积}\)
\(|\text{det }A|\) 是由 \(A\) 的列向量组成的平行六面体盒子的体积。（也可以用行向量组成不同的盒子，但是体积是相同的。
如果 \(A=I\) ，则盒子是单位立方体，其体积为 \(1\)，与行列式性质一相同
如果 \(A=Q\)，且是正交矩阵，则盒子是一个不同方向的单位立方体，体积为 \(1 = |\text{det }Q|\)。（因为 \(Q\)是正交矩阵， \(Q^TQ=I\) ，所以 \(\text{det }Q=\pm1\)）。
交换 \(A\)的两列并不改变盒子的体积（记住 \(\text{det }A=\text{det }A^T\)）或者行列式的绝对值（行列式性质二）。如果能够证明盒子的体积满足行列式性质三，则可证明 \(|\text{det }A|\) 等于盒子的体积。
如果将 \(A\) 的某一列乘以 \(2\)，则盒子的体积增加 \(2\) 倍，满足性质三（一）。
性质三（二）说明矩阵行列式的和行之间是线性关系：
通过下图，很容易解释同样也是成立的。
尽管不需证明，还是看看盒子的体积是否满足行列式性质四。如果盒子的两条边是相同的，则盒子会被压扁，没有体积。
注意：如果知道盒子边角的坐标，通过行列式计算盒子的体积非常简单。例如，由 \(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}\)组成的平行四边行面积为 \(ad-bc\) ，则由 \(\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}\)组成的三角形的面积为平行四边形的一半， \(\frac{1}{2}(ad-bc)\) 。另外，由 \((x_1,y_1)\)， \((x_2,y_2)\) ， \((x_3,y_3)\)构成的三角形的面积是：
笔记来源：MIT 18.06 lecture 20
