行列式公式
行列式有如下三个特性：
- \(\text{det }I=1\)
- 交换行会反转行列式符号
- 行列式与矩阵每行的元素呈线性关系
上节通过上述三个特性推导出了七个结论，通过这十个特性去找求\(2\times 2\)矩阵行列式的公式：
\[\begin{aligned}
\left|\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right| &=
\left|\begin{array}{cc}
a & 0 \\
c & d
\end{array}\right| +
\left|\begin{array}{cc}
0 & b \\
c & d
\end{array}\right| \\
&=
\left|\begin{array}{cc}
a & 0 \\
c & 0
\end{array}\right|+
\left|\begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & d
\end{array}\right|+
\left|\begin{array}{cc}
0 & b \\
c & 0
\end{array}\right|+
\left|\begin{array}{cc}
0 & b \\
0 & d
\end{array}\right|\\
&= 0 + ad + (-cb) + 0\\
&= ad-bc
\end{aligned}
\]
通过运用特性三，可以按每行的元素将任意方阵分离开，得到公式。例如，一个\(3\times 3\)的矩阵，通过上面的方式分解后，需要将\(27\)个矩阵的行列式加起来，得到最终的结果，但是其中许多行列式为零，其中不为零的有：
\[\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right| &=
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & 0 & a_{33}
\end{array}\right| +
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{23} \\
0 & a_{32} & 0
\end{array}\right| +
\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & 0 \\
a_{21} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33}
\end{array}\right| \\
&\quad+
\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & 0 \\
0 & 0 & a_{23} \\
a_{31} & 0 & 0
\end{array}\right| +
\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a_{13} \\
a_{21} & 0 & 0 \\
0 & a_{32} & 0
\end{array}\right| +
\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a_{13} \\
0 & a_{22} & 0 \\
a_{31} & 0 & 0
\end{array}\right|\\
&=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\\
&\quad+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}
\end{aligned}
\]
每个非零部分在每行每列只有一个元素，类似置换矩阵。因为置换矩阵的行列式不是\(1\)就是\(-1\)。
在这种分解方法下，\(2\times 2\)的矩阵得到的非零部分有\(2\)个，\(3\times 3\)的矩阵得到的非零部分有\(6\)个，\(4\times 4\)的矩阵得到的非零部分有\(24=4!\)个。因为选择第一行的元素有\(n\)种可能，第二行有\(n-1\)可能，第三行有\(n-2\)种可能。
计算任意方阵行列式的big formula是：
\[\text{det }A=\sum_{n!\text{ terms}} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}
\]
其中\((\alpha,\beta,\gamma,\cdots,\omega)\)是\((1,2,3,\cdots,n)\)的一种置换，如果在一单位矩阵上测试big formula，则有\(\alpha=1,\beta=2,\gamma=3,\cdots,\omega=n\)对应情况不为零，其余情况均为零，此时得到\(\text{det }I=1\)。
应用消元法，并将主元上的结果相乘同样能够得到矩阵的行列式。
例子
如果矩阵中有很多元素为零，在分解big formula过程中很多部分式子为零。通过选择每行每列的不为零的元素，并给乘积合适的符号再将子式的行列式相加得到结果。
\[\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
由\(a_{14}\)到\(a_{41}\)的对角线上的元素对应的置换是\((4,3,2,1)\)，对应行列式的为\(1\)，因为需要执行两次行交换才能得到置换\((1,2,3,4)\)；另一项\(\sum\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}a_{4\omega}\)对应的置换为\((3,2,1,4)\)，对应的行列式为\(-1\)，因为只需要执行一次行交换得到。上述矩阵的行列式只能分解为两个式子，所以得到矩阵的行列式为\(1+(-1)=0\)，而且矩阵第一行加第三行等于第二行加第四行，所以该矩阵是奇异矩阵，行列式为\(0\)。
代数余子式
代数余子式（confactor formula）将上面的big formula重写，分解为求解更小的矩阵行列式。
\[\begin{aligned}
\text{det }A &=a_{11}(a_{22}a_{23}-a_{23}a_{33})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\\
&=
\left|\begin{array}{rrr}
a_{11} & 0 & 0\\
0 & a_{22} & a_{23}\\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|+
\left|\begin{array}{rrr}
0 & a_{12} & 0\\
a_{21} & 0 & a_{23}\\
a_{31} & 0 & a_{33}
\end{array}\right|+
\left|\begin{array}{rrr}
0 & 0 & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & 0\\
a_{31} & a_{32} & 0
\end{array}\right|
\end{aligned}
\]
上述等式内，括号内的即是余子式（cofactor）。每个余子式是\(2\times 2\)矩阵的行列式或其负值。
通常\(a_{ij}\)的余子式\(C_{ij}\)，可以通过把big formula包含\(a_{ij}\)的项合并得到。\(C_{ij}\)等于\((-1)^{i+j}\)乘以移去\(i\)行\(j\)列的\((n-1)\times(n-1)\)矩阵的行列式。
对于\(n\times n\)矩阵，代数余子式为：
\[\text{det }A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}
\]
应用到\(2\times 2\)矩阵，得到：
\[\left|\begin{array}{rr}
a & b\\
c & d
\end{array}\right|=ad+b(-c)
\]
三对角矩阵
三对角矩阵（tridiagonal）的主对角线及与主对角线相邻的元素为非零元素，其余的元素为\(0\)。例如非零元素为\(1\)的\(4\times 4\)的三对角矩阵为：
\[A_4=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\]
那么非零元素为\(1\)的\(n\times n\)的三对角矩阵行列式为多少？
\[|A_1|=1,
|A_2|=
\left|\begin{array}{rr}
1 & 1\\
1 & 1\\
\end{array}\right|=0,
|A_3|=
\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right|=-1,
\]
\[|A_4|=
1\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right|-1
\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{array}\right|=|A_3|-1|A_2|=-1
\]
事实上，\(|A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}|\),得到一个序列，每个6项重复一次。
\[|A_1|=1,|A_2|=0,|A_3|=-1,|A_4|=-1,|A_5|=0,|A_6|=1,|A_7|=1
\]
笔记来源：MIT 18.06 lecture 19
