雅可比矩阵
假设某函数从\(\mathbb{R}^n\)映射到\(\mathbb{R}^m\)，则其雅可比矩阵是从\(\mathbb{R}^n\)到\(\mathbb{R}^m\)的线性映射，意义在于表现一个多变量向量函数的线性逼近，因此雅可比矩阵类似单变量函数的导数。假设\(F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\)是从\(n\)维欧氏空间映射到\(m\)维欧氏空间的函数，\(F\)由\(m\)个实函数组成：\(y_1(x_1,x_2,...,x_n),\cdots,y_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。这些函数的偏导数（存在时）可以组成\(m\)行\(n\)列的矩阵，即雅可比矩阵:
\[\begin{bmatrix}
\frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
\]
该矩阵可用符号表示：
\[J_F(x_1,...,x_n)
\]
或者
\[\frac{\partial(y_1,\cdots,y_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}
\]
该矩阵第\(i\)行是由梯度函数的转置\(y_i(i=1,\cdots,m)\)表示的。
当\(p\)是\(\mathbb{R}^n\)中的一点，\(F\)在\(p\)可微分，则\(J_F(p)\)是在该点的导数，\(J_F(p)\)即\(F\)在\(p\)点附近的最优线性逼近，当\(x\)足够靠近\(p\)时，有：
\[F(x)\approx F(p)+J_F(p)\cdot(x-p)
\]
