MIT 18.06 linear algebra lecture 18 行列式及其性质 笔记

行列式

课程已经进行一半了，接下来的主要话题是行列式（determinant）和特征值（eigenvalue）。
行列式是与任意方阵相关的一个实数，通常用\(\text{det }A\)或者\(|A|\)表示。行列式包含了很多关于矩阵的信息，当行列式不为\(0\)时，矩阵是可逆的。

性质

再深入学习行列式之前，先简单了解下行列式的几个性质。例如一个简单矩阵\(\left|\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc\)，通过下面的一些性质，可以得到不同大小方阵的行列式。

1. \(\text{det }I=1\)
2. 如果交换矩阵的两行，行列式的正负号反转
3. 乘法和加法
   1. 如果给矩阵一行乘以\(t\)，行列式也乘以\(t\)
   \[\left|\begin{array}{rr} ta & tb\\ c & d \end{array}\right| =t \left|\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array}\right| \]
   2. 在矩阵的行上，行列式类似线性函数
   \[\left|\begin{array}{cc} a+a' & b+b'\\ c & d \end{array}\right|= \left|\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array}\right|+ \left|\begin{array}{rr} a' & b'\\ c & d \end{array}\right| \]

性质1得知\(\left|\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right|=1\)，性质2得知\(\left|\begin{array}{rr}0&1\\1&0\end{array}\right|=-1\)。置换矩阵\(P\)的行列式是\(-1\)或者\(1\)，取决于\(P\)交换了奇数次还是偶数次行。
通过上面的三个性质，可以推导出更多的性质。
4. 如果矩阵中有两行相等，行列式为零。
通过性质2，行交换规则。交换两个相同的行，行列式正负反转，但是矩阵不变，行列式也不变，则行列式为零。
5. 如果\(i\ne j\)，行\(j\)减去\(t\)倍的行\(i\)并不改变行列式。
在二维情况下,举例如下：

\[\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc}a&b\\c-ta&d-tb\end{array}\right|&=\left|\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right|-\left|\begin{array}{rr}a&b\\ta&tb\end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right|-t\left|\begin{array}{rr}a&b\\a&b\end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right| \end{aligned} \]

在高维情况下，也同样适用。
6. 如果\(A\)有一行为零，则\(\text{det }A=0\)
7. 三角矩阵的行列式是对角线上元素（主元）\(d_1,d_2,\cdots,d_n\)的乘积。
由性质5可知，当使用消元法将三角矩阵转化为对角矩阵，行列式不会改变；由性质3.1可知，对角矩阵可以看作对角线上的元素逐个与单位矩阵相乘得到，再结合性质1可以得到性质7。
8. 当\(A\)是奇异矩阵时，\(\text{det }A=0\)。
如果\(A\)是奇异矩阵，通过消元法能够得到一行为零，通过性质6能得到行列式为\(0\)。
如果\(A\)不是奇异矩阵，通过消元得到完整的所有主元，行列式不为\(0\)。

上述性质对于求非奇异矩阵的行列式非常有用。事实上，计算机在求取大矩阵时，也是通过消元法求取的（消元过程中记录行交换的次数），消元完成后将所有主元相乘：

\[\left[\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array}\right]\rightarrow \left[\begin{array}{rr} a & b\\ 0 & d-\frac{c}{a} \end{array}\right],\text{if } a\ne0,\text{so} \]

\[\left[\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array}\right]= a(d-\frac{c}{a}b)=ad-bc \]

9. \(\text{det }AB=(\text{det }A)(\text{det }B)\)
   这个性质非常有用，但是需要谨记的是两个矩阵之和的行列式并不等于两个矩阵行列式的和。
   例如：

\[ \text{det }A^{-1}=\frac{1}{\text{det }A} \]

因为\(|A^{-1}A|=|I|=1\)（当\(A\)是奇异矩阵时，\(A^{-1}\)并不存在，\(\text{det }A^{-1}\)是无意义的）。另外有\((\text{det }A)^2=\text{det }A^2\)，\(\text{det }2A=2^n\text{det }A\)（对矩阵的每行应用性质3）。可以从体积的角度来考虑，当把立方体的长宽高均增加一倍后，体积会增加\(2^3=8\)。

10. \(\text{det }A^T=\text{det }A\)

\[\left|\begin{array}{rr} a&b\\ c&d \end{array}\right|= \left|\begin{array}{rr} a&c\\ b&d \end{array}\right|=ad-bc \]

接下来检查\(|A^T|=|A|\)，使用消元法后，有\(A=LU\)。因此待证等式变为\(|U^TL^T|=|LU|\)。因为矩阵\(L\)是下三角矩阵，且对角线上元素均为\(1\)，所以\(|L^T|=|L|=1\)；又因为\(U\)是上三角矩阵，由性质5可以得到，\(|U|=|U^T|\)，所以\(|U^T||L^T|=|L||U|\)，又由性质9，可证\(|U^TL^T|=|LU|\)。

到目前为止，有一个遗留问题。性质2可得，行交换会导致行列式正负反转。现在，假设对一矩阵进行7次行交换和10次行交换得到的结果相同，行列式的值会如何变化呢？为了证明行列式对性质1、2、3均满足，在后面将会证明奇数次行交换（奇数置换）和偶数次行交换（偶数置换）不可能得到相同的结果。

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笔记来源：MIT 18.06 lecture 18