MIT 18.06 linear algebra lecture 13 复习一 笔记
问题1
假设\(\boldsymbol{u}\)、\(\boldsymbol{v}\)和\(\boldsymbol{w}\)是\(\mathbb{R}^7\)中的非零向量。他们生成了\(\mathbb{R}^7\)中的子空间，该子空间的维度可能是多少？
答案：\(1\)、\(2\) 和 \(3\)都可能是答案，子空间维度不可能更高，因此该子空间的基至多为三个向量。\(0\) 不可能是答案，因为这些向量均不为零。
问题2
假设一个\(5\times 3\)的矩阵\(R\)，行化简形式有\(r=3\)个主元。
-
\(R\)的零空间是什么？
因为\(R\)的秩为\(3\)，并且矩阵有\(3\)列，所以除了零向量以外没有其他解，所以\(N(R)=\{0\}\) -
假设\(B\)是\(10\times 3\)矩阵\(\left[\begin{array}{r}R\\2R\end{array}\right]\)，\(B\)的行化简形式是？
\(\left[\begin{array}{r}R\\0\end{array}\right]\) -
\(B\)的秩是多少？
\(3\) -
矩阵 \(c=\begin{bmatrix}R&R\\R&0\end{bmatrix}\) 的行化简形式是多少？
\[\left[\begin{array}{rr}
R & R\\
R & 0
\end{array}\right]\rightarrow
\left[\begin{array}{rr}
R & R\\
0 & -R
\end{array}\right]\rightarrow
\left[\begin{array}{rr}
R & R\\
R & 0
\end{array}\right]\rightarrow
\left[\begin{array}{rr}
R & R\\
R & 0
\end{array}\right].
\]
-
\(C\)的秩是多少？
\(6\) -
矩阵\(C^T\)的零空间维度是多少？
\(m=10\)并且\(r=6\)，所以\(N(C^T)=m-r=10-6=4\)
问题3
假设\(A\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}\)并且：
\[x=
\begin{bmatrix}
2\\
0\\
0
\end{bmatrix}+c
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
0
\end{bmatrix}+d
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\]
是一个完整解。注意现在并不知道\(A\)是多少？
- 矩阵\(A\)的形状是多少？
\(3\times 3\)，因为\(\boldsymbol{x}\)和\(\boldsymbol{b}\)均为\(3\times 1\)。 - \(A\)的行空间维度是多少？
通过\(\boldsymbol{x}\)的完整解，\(A\)的列空间维度为\(2\)。，所以矩阵的秩和行空间维度为\(3-2=1\)。 - \(A\)是多少？
因为特解\(\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}\)的第二、三部分为零，所以\(A\)的第一列为\(\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\)，\(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)在\(A\)的零空间中，所以\(A\)的第三列为\(\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\)，最后通过另一个零空间中的向量\(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\)可以得知，\(A\)的第二列与第一列恰好相反，所以：
\[A=
\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0\\
2 & -2 & 0\\
1 & -1 & 0
\end{array}\right]
\]
- 什么样的向量 \(\boldsymbol{b}\) 使得 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) 有解 \(\boldsymbol{x}\)。
当\(\boldsymbol{b}\)在列空间中时，有对应的解，所以\(\boldsymbol{b}\)是\(\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\)的乘数，矩阵\(A\)的秩为\(1\)。
问题4
假设：
\[B=CD=
\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -1 & 2\\
0 & 1 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\]
试着给出下面问题的答案（不对\(CD\)进行矩阵乘法计算）。
- 给出\(B\)的零空间的基？
矩阵\(B\)为\(3\times 4\)，所以\(N(B)\subseteq\mathbb{R}^4\)，因为\(C=\left[\begin{array}{rrr}1&1&0\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right]\)是可逆的，所以\(B\)的零空间和\(D=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&-1&2\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\end{array}\right]\)的零空间相同。矩阵\(D\)已经是行化简形式，\(N(D)=N(B)\)由特解构成的基是：
\[\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}
-2 \\
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
\]
- 找出\(B\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\)的完整解。
上面一问已经找出了零空间中的特殊解，继续找出一个特解。注意到\(C\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\)，接下来寻找一个向量\(\boldsymbol{x}\)使得\(D\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)；另外一个角度是，注意到\(B=CD\)的第一列是\(\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\)。通过上述两种方法可以得到完整解：
\[\boldsymbol{x}=
\left[\begin{array}{r}
1\\
0\\
0\\
0
\end{array}\right]+c
\left[\begin{array}{r}
1\\
-1\\
1\\
0
\end{array}\right]+d
\left[\begin{array}{r}
-2\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right]
\]
简答
- 给定一方阵\(A\)，其零空间仅有零向量，则\(A^T\)的零空间？
\(A^T\)的零空间同样仅有零向量，因为\(A\)是方阵。 - 可逆矩阵能否构成\(5\times 5\)矩阵的向量空间中的子空间？
不能。两个可逆矩阵的和可能不可逆，另外\(\boldsymbol{0}\)也不是可逆的，所以可逆矩阵的集合并不是向量空间 - 如果\(B^2=0\)，则\(B=0\)。
错误。\(B\)可以是\(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\)。 - 当\(A\)中的列线性无关时，\(n\)个等式和\(n\)个未知数组成的方程组\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)对于任意\(b\)都有解。
正确。\(A\)可逆，\(\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\)有解。 - 如果\(m=n\)，则行空间等于列空间。
错误。维数是相同的，但是空间不同。例如\(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\) - 矩阵\(A\)和\(-A\)有同样的四个子空间。
正确。对于任意空间中的任意向量\(\boldsymbol{v}\)，都有\(-\boldsymbol{v}\)。 - 如果\(A\)和\(B\)的四个子空间相同，则\(A\)是\(B\)的乘数。
错误。判断题的最佳方式是假设其是错的，再去寻找证据。假设\(A\)和\(B\)均为大小一致的可逆矩阵，即是\(A\)和\(B\)不同，其四个子空间仍然相同。 - 如果交换\(A\)，哪些子空间保持不变？
行空间和零空间保持不变。 - 为什么向量\(\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)不能同时在\(A\)的零空间中，并且是\(A\)中的一行？
假设\(\boldsymbol{v}\)是\(A\)中的第\(i\)行，则向量\(A\boldsymbol{v}\)的第\(i\)部分为\(14\)，\(\boldsymbol{v}\)不是\(A\boldsymbol{v}=0\)的解。
笔记来源:MIT 18.06 lecture 13
