MIT 18.06 linear algebra lecture 8 求解Ax=b 可解性和解的结构 笔记

本节主要重点是，什么条件下\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)有解？如何去描述这些解？

关于\(\boldsymbol{b}\)的可解条件

继续使用上一节的例子：

\[A= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{array}\right] \]

第三行是第一行和第二行之和，由于\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)，所以当\(\boldsymbol{b}\)不满足\(b_3=b_1+b_2\)时，该线性方程没有解。
通过对\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)的增广矩阵进行消元能够判断其是否有解，如果\(A\)中有某行被完全消去，对应\(\boldsymbol{b}\)中的列的元素为零时才有解。例如\(A\)中的第三行会被完全消去：

\[\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 2 & 3 & b_1\\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2\\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\ \end{array}\right] \rightarrow\cdots\rightarrow \left[\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 2 & 3 & b_1\\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1\\ \end{array}\right] \]

如果\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)有解，则\(b_3-b_2-b_1=0\)，例如，可以取\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}\)。
联想到上一节的内容，当\(\boldsymbol{b}\)在\(A\)的列空间\(C(A)\)中时，\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)有解。

完整解

寻找\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)的所有解需要先检查是否存在解，再寻找特解。通过将特解和零空间中的所有向量相加得到完整解。

一个特解

一种得到\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)的方式是，将所有自由变量设为零，然后去解主变量。
以上面的例子矩阵\(A\)为例，令\(x_2=x_4=0\)，得到等式组：

\[\begin{aligned} x_1+2x_3&=1\\ 2x_3&=3 \end{aligned} \]

得到\(x_3=3/2\)，\(x_1=-2\)。所以特解为：

\[\left[\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 3/2\\ 0 \end{array}\right] \]

和零空间结合

\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)的通解是\(\boldsymbol{x}_\text{complete}=\boldsymbol{x}_p+\boldsymbol{x}_n\)，其中\(\boldsymbol{x}_n\)是零空间中的一般向量。可以将\(A\boldsymbol{x}_p=\boldsymbol{b}\)和\(A\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{0}\)加起来，得到\(A(\boldsymbol{x}_p+\boldsymbol{x}_n)=\boldsymbol{0}\)。

上节中求解\(A\)的零空间由两个特解的线性组合构成：\(\left[\begin{array}{r}-2\\1\\0\\0 \end{array}\right]\)和\(\left[\begin{array}{r}2\\0\\-2\\1 \end{array}\right]\)，所以\(A\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{r}1\\5\\6\end{array}\right]\)的完整解是：

\[\boldsymbol{x}_{complete}= \left[\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 3/2\\ 0 \end{array}\right] +c_1 \left[\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right] +c_2 \left[\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{array}\right] \]

\(c_1\)和\(c_2\)是实数。

秩

矩阵的秩等于矩阵主元的数量，如果\(A\)是\(m\times n\)的矩阵，并且秩为\(r\)，可知的是\(r\le m\)，\(r\le n\)。

列满秩

如果\(r=n\)，零空间维度\(n-r\)维度为0，仅包含\(零向量\)。没有自由变量和特解。
如果\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)有解，也只有一个解。所以等式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)要么无解要么有一个解。这样的例子各列是线性独立的，在应用中很常见。

因为\(r\le m\)，所以当\(r=n\)时，矩阵的列数小于或者等于矩阵的行数。简化行阶梯形式得到的矩阵类似\(R=\begin{bmatrix}I\\\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\)。对于在\(\mathbb{R}^m\)中的任意向量\(b\)，如果不是\(A\)的列的线性组合，\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)不存在解。

行满秩

如果\(r=m\)，简化后得到的矩阵\(R=[I\quad F]\)没有零行，因此不需要对\(\boldsymbol{b}\)中的元素有要求，等式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)总是有解。有\(n-r=n-m\)个自由变量，所以\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)有\(n-m\)个特殊解。

行列满秩

如果\(r=m=n\)是\(A\)的主元数量，则\(A\)是可逆方阵并且\(R\)是单位矩阵。零空间维度为零，\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)对于每个\(\mathbb{R}^m\)中的向量\(\boldsymbol{b}\)都有解。

总结

\(R\)是简化行阶梯形式，下表总结了不同情况下的结论：

	\(r=m=n\)	\(r=n<m\)	\(r=m<n\)	\(r<m,r<n\)
R	\(I\)	\(\begin{bmatrix}I\\\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}I & F\end{bmatrix}\)	\(\begin{bmatrix}I & F\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{0}\end{bmatrix}\)
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)的解	\(1\)	\(0\)或\(1\)	无限个	\(0\)或者无限个

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笔记来源：MIT 18.06 lecture 8