MIT 18.06 linear algebra lecture 7 求解Ax=B 主变量 特解 笔记

计算零空间

矩阵\(A\)的零空间由使\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)的向量\(\boldsymbol{x}\)组成。
假设：

\[A= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{array}\right] \]

注意到，\(A\)的列并不是线性独立的，下面使用消元法计算矩阵的零空间，尽管\(A\)并非可逆的。在消元过程中不需要使用增广矩阵（增加一列\(\boldsymbol{b}\)），因为此时\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)。
在消元过程中的行操作不会影响\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)的解，所以并不会改变零空间（但是会影响列空间）。下面开始进行消元：

\[A= \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right] \]

在第二行中没有发现主元，所以下个主元是第二行第三列的\(2\)：

\[\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=U \]

矩阵\(U\)是阶梯（echelon）形式。第三行是零，因为行三是行一和行二的线性组合，在消元过程中被消去了。矩阵的秩（rank）等于主元的数量，在该例子中\(A\)和\(U\)的秩都为2.

特解

通过消元法得到\(U\)后，可以通过回代法寻找\(U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)的解\(\boldsymbol{x}\)。消元得到的矩阵\(U\)中第一列和第三列是主元列（pivot column），因为它们包含主元，第二列和第四列是自由列（free column）。可以给\(x_2\)和\(x_4\)任意值，称其为自由变量（free variable)。假设\(x_2=1\)、\(x_4=0\)，有：

\[2x_3+4x_4=0 \Longrightarrow x_3=0 \]

而：

\[x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0 \Longrightarrow x_1=-2 \]

所以一个解是\(\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{r}-2\\1\\0\\0\end{array}\right]\)（第二列是第一列的二倍），任意实数与该向量的乘积也是解。
另外给定\(x_2=0\)、\(x_4=1\)，可以得到零空间中的另一组解：

\[\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{r}2\\0\\-2\\1\end{array}\right] \]

因此\(A\)的零空间是所有这些特殊解向量的线性组合。

简化行阶梯形式

继续使用消元方法，能够将\(U\)转化为简化行阶梯形式（reduced row echelon form, rref form）的矩阵\(R\)：主元为1，主元上下方均为0.

\[\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\rightarrow \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\rightarrow \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=R \]

通过交换一些列之后，\(R\)可以被重写为单位矩阵在左上角（由主元构成），其余自由列的矩阵在右边的矩阵（分块矩阵）。如果\(A\)中的一些行是线性相关的，经过消元简化后，\(R\)的下部分填充的是0：

\[R= \begin{bmatrix} I & F\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

此处\(I\)是一个\(r\times r\)矩阵。

如果\(N\)是零空间矩阵\(N=\begin{bmatrix}-F\\I\end{bmatrix}\)，则\(RN=\boldsymbol{0}\)，\(N\)的列是特解。此处的\(I\)是\((n-r)\times(n-r)\)的单位矩阵。

---

笔记来源：MIT 18.06 lecture 7