C语言的二进制

什么是二进制

其实二进制和我们平时所使用的记数法是一样的，只不过我们平常会使用十个不同的数字符号来表示数值：“0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”，并且每位需要分别乘上“1,10,100,1000,10000”(个、十、百、千、万)

比如528的组成：8*1+2*10+5*100=528

二进制的每位分别乘上“1,2,4,8,16”，比如二进制 0101的组成：1*1+0*2+1*4+0*8=5，就是说 二进制 0101 所表示的数值是 5

位权的概念

这个每位分别乘上的固定数值，就是所谓的“位权（weight）”，即“每位的权重”。

前面说了，在我们平常生活所使用的记法中，每位的位权分别是“1, 10, 100, 1000”

一般的，从第1位开始，第 i 位的位权其实就是 10^(i-1)，而对于二进制，第 i 位的位权则为 2^(i-1)

规律：“ r进制”第 i 位的位权就是：r^(i-1)，例如三进制第 i 位的位权就是 3^(i-1)。所以，我们平时生活所使用的记法，也可以叫做“十进制”。

当然，计算机的专业人士会比较喜欢从“0”开始数，比如十进制的个位数，我们一般看作第1位，计算机则看作第0位。那么此时第 i 位的位权公式实际上应当是 r^i 而不是 r^(i-1)

位权与进位

那么“位权（weight）”的实际意义究竟是什么呢？其实它规定了进位的规则。

比如，十进制第 i 位的位权为 10^i ，具体地，从第0位开始，它的每位位权分别是“1, 10, 100, 1000...”。我们小学就学过，十进制的加法是逢十进一的，个位满十，就向十位进一。这意思可不就是，1个 十位的“1” 代表10个 个位的“1” 吗？因此，十位的位权是“10”。然后，1个百位代表10个十位，因此百位的位权是“100”，以此类推。

那么二进制呢？从第0位开始，二进制每位位权分别是“1, 2, 4, 8”，或者说 2^0、2^1、2^2、2^3。在二进制中，1个 第2位 代表 2个 第1位，1个 第1位 代表 2个 第0位。所以，二进制是“逢二进一”的。那么一般地，“ r进制”就是“逢 r进一”的。这也是为什么，它的名字叫做 r“进”制。

参考：https://www.zhihu.com/question/330681697/answer/1981060025

1个字节的最大值和最小值

1个字节等于8位，就是8个二进制，那么最大值就是8个1，所表示的数值为1*2^0+1*2^1+1*2^2 +... +1*2^7=255

简化为2^0+2^1+2^2，实际就是等比数列的求和公式2^n-1 (n为项数），8位就有8项，最大值公式为2^8-1=255，范围就是0到255

相关知识：等比数列的求和是怎么来的

如果是有符号的整数，最高位1表示负号，0表示正号

最大值 0111 1111

最小值 1000 0000

最大值只能用剩下的7位表示，所以是2^7-1=127，最大值+1等于最小值，因为是负号，所以是-128，最终范围-128到127