概率学习2（2024-5-7）

 复习《统计思维——程序员数学之概率统计》笔记

"""

This file contains code for use with "Think Stats",
by Allen B. Downey, available from greenteapress.com

Copyright 2010 Allen B. Downey
License: GNU GPLv3 http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

"""

补充资料：

    （1）精品课程《轻松学统计》；

    （2）

 

	1. 数据 总体population、横截面研究cross-sectional study，周期cycle，纵向研究longtitudinal study，记录record，参与调查的人respondent、样本sample、有代表性representative、过度抽样oversampling、原始数据raw data、重编码recode、数据清洗data cleaning。  1.1 数据的分组——相关分组处理方法。   1.2 变量数列 单项式数列 组距式数列   1.3 集中趋势  　　计算平均数  　　位置平均数 1.4离中趋势  衡量平均数代表性的好坏；反映事物发展是否均衡，是否稳定； 1.5使用核密度估计方法计算一个样本（序列）所对应的符合该样本书记的适当平滑的PDF。
	2. 分布—— 值及出现的次数——直方图histogram——每个值的频数frequency 描述变量的最佳方法之一是列出该变量在数据集中的值，以及每个值出现的次数。这种描述称为该变量的分布distribution。     集中趋势central tendency——变量值是否集中在某个值的附近？   众数mode——是否有多个聚集点？   展布spread——变量的变化性如何？对值在分布中扩展规模的度量。   尾部——当偏离众数时，其概率降低多块？   离群值outlier——是否有远离众数的极端值？   汇总统计量summary statistic：针对一个群组进行统计。 　　均值 、平均数 　　方差variance、标准差standard deviation（又称为：均方差）。   效应量effect size：描述两个群组之间的差异。如， （1）使用两个群组均值的差值描述两个群组之间的差值。 （2）将群组之间的差值与群组内的变化性进行比较——统计量Cohen's d。   正态分布normal distribution——钟形的理想化分布，也称为高斯分布。 均匀分布uniform distribution——所有值具有相同的分布。   临床显著clinically significant——在实践中有意义的结果，如群组之间的差异。  page28——对图形中一部分数据进行放大，并转换数据，以强调种种区别。 page18——处理离群值的最佳方法依赖于“专业领域知识”和数据分析者打算对数据进行何种分析；
	3. 概率质量函数PMF——适用于描述变量值数量较少的情况。随着值的数量增加，每个值对应的概率会变得越来越小，随机噪音的影响就会变大。 概率probability：是频数的分数表示。 概率质量函数probability mass function，PMP：将每个值映射到其概率。
	4. 累积分布函数CDF   4.1 解决PMF在变量值数量较大的局限：（1）数据分区；（2）累积分布函数。   4.2 百分位数 原始成绩，百分位秩——在标准化考试成绩中，百分位秩是比你成绩低（或相同）的人的比例。“位于第90百分位”说明你的成绩高于或等于90%参加考试的人。 （1）已知数据序列和特定值，计算该特定值的百分位秩；——排查一遍，将小于等于特定值的数据计数，计数值/总数； （2）已知数据序列（长度n），求指定百分位秩x所对应的数据；——将数据序列按值从小到达排序，取第n*x/100位置的数据即可。——即取百分位数索引所对应的数据。   4.3累计分布函数cumulative distribution function,CDF——将一个值映射到整体的百分位秩。                                                                                     ——描述“小于等于”的概率。                                                                                    ——“分布函数”是“累计分布函数”的简称。                                                                                    ——是概率密度函数的积分。
	5. 分布建模（可在学完第6章之后学习第5章） 经验分布——基于有限样本的经验观察得到的CDF。实际样本的累积分布函数CDF。 分析分布——采用某种数学函数表示样本数据的统计规律，是对数据建模的一种方法。   常用的分析分布：   5.1 指数分布——用于对现实世界中达到间隔测量数据建模。如果事件在任意时间发生的可能性相同，到达间隔的分布就会近似为一个指数函数。     如，怀孕过程中，受精卵到婴儿出生——妊娠期不同，记录出生时间点得到婴儿出生时间数据集，将相邻出生时间间隔作为研究样本X，假设婴儿在一天中的任何时间出生的可能性相同，采用指数分布对CDF（X）进行建模，得到连续模型。尽管这种假设并不准确成立，使用指数分布对这个样本X进行建模是合理的，经过这种简化，我们用一个参数\lamda就可以概括这个分布。        参数\lamda可以解释为一个比率，即在一个时间单元内发生的平均次数。在上述例子中，24小时内出生了44个婴儿，指数函数唯一参数\lamda等于每分钟0.0306个婴儿出生，指数分布的均值为1/\lamda,即表示婴儿出生时间间隔均值为32.7分钟。
	6. 概率密度函数 probability density function 6.1  CDF的导数称为概率密度函数PDF。 在物理学上，密度是单位体积的质量。密度乘以体积得到质量； 概率密度是在度量单位x的概率。     如，身高的概率质量PMF图在130-190cm之间是一个类似钟形的阶梯函数（纵坐标为身高值对应的频次），            身高的概率密度PDF图在130-190cm之间是一个类似中兴的平滑函数（纵坐标为密度），表示每cm的概率值. 概率密度自身并没有太多的含义。但是，如果绘制PDF图，可以看出这个分布的形状。   PMF代表一组离散值的概率。CDF表示累计概率；要从CDF得到PMF，需要计算累计概率之间的差值。 PDF是连续CDF的导数，CDF是PDF的积分；PDF将值映射到概率密度，要得到概率，必须进行积分运算。   6.2 离散型描述量PMF  —— 连续性描述量PDF 要从离散型分布得到连续性分布，需要采用多种平滑处理方法。       平滑方法（1）：假设数据来自一个连续的分析分布（如指数分布或正态分布），然后估计这个分布的参数；       平衡方法（2）：采用核密度估计方法。 核密度估计方法：已知一个样本序列，找到一个符合该样本数据的适当平滑的PDF。                              为不存在的值估计概率密度；——插值                              分布有离散型------>连续型     6.3 对实际样本的估计与验证 得到实际样本序列，进行数据分析探索，可以画出hist、pmf、cdf进行分析，如果初步判断符合高斯分布，可以通过通过对实际数据和猜测参数后模拟的数据分别得到对应的pdf，绘制它们的PDF图做比较。进一步可以比较研究点对应的概率密度。   实际数据sample的pdf计算与绘图：(研究时，实际数据也可以采用随机建模数据) 　　　　　　　　sample_pdf = thinkstats2.EstimatedPdf(sample);  #核密度估计得到的概率密度函数 　　　　　　　　thinkplot.Pdf(sample_pdf, label='Sample KDE')   探索阶段猜测的（逐步调整细化）参数：mean, var 依据参数获取模拟数据计算其pdf并绘图： 　　　　　　　　mean， var = 163，52.8                              std = math.sqrt(var)                              pdf =  thinkstats2.NormalPdf(mean, std) 　　　　　　　　thinkplot.Pdf(pdf, label='normal') 　　　　　　　　#可计算pdf.Density(mean + std)得到0.0333001，表明对于模拟的建模身高数据，每cm的概率值为0.0333001. 　　　　　　　　#已知pdf可以模拟得到对应的pmf = pdf.MakePmf();   6.4 研究工具thinkstats2的介绍 thinkstats2中提供了各种基本类型如Hist, Pmf, Cdf, Pdf.它们有自己的属性和方法。   6.5 统计量 均值、方差、中位数、四分位 新的统计量1：矩 　　　　　　　　（1）原始距；k=1时为均值；（2）中心矩； k=2时为方差 新的统计量2：偏度skewness——描述分布形状的一个量。                       如果分布是以集中趋势为中心对称的，称这个分布是非偏斜的（unskewed）;                       如果分布中的值向右延申的更多，那么这个分布就是右偏（right skewed）.          样本偏度g1没有单位其值的大小用于比较，本身很难解读。为负值时代表分布左偏，为正值时代表分布右偏。          实际应用中，分布中任何离群值都会对g1产生不同程度的影响，计算偏度并非好注意。          衡量分布对称性通常采用Pearson中位数偏度系数Pearson's median skewness coefficient——基于样本均值和中位数差的一种偏度度量。这个统计量是稳健的（robust）。
	7. 变量之间的关系 如果从一个变量的信息中得到另一个变量的信息，那么这两个变量就是相关的。   7.1 散点图——对变量关系有一个大体的了解 数据抖动（抖动的数据通常只应用于视觉效果，使得变量关系的形状更加清晰，应避免在分析时使用经过抖动的数据）。 显示时设置透明度、或直接绘制hexbin图。   7.2 描述关系特征 其他可视化方法可以让我们更加深入地了解变量关系的本质。 一种方法是对一个变量进行分区，绘制另一个变量的百分位数。    7.3 相关性 新的统计量3：相关性  相关性是一个统计量，用于量化两个变量之间关系的强弱； 度量两个量的相关性是困难的。因为，需要比较的变量通常使用不同的单位。即便变量使用相同的单位，也可能来自不同的分布。解决方法： （1）将每个值都转换为标准分数（standard score）,即期偏离均值的标准差。——Pearson乘积矩相关系数。 （2）将每个值都转为为秩，即其在的所有值的排序列表的索引。这种转换后计算相关性 ——Spearman秩相关系数。   以上两个相关系数都会调用到协方差计算公式Cov。   Pearson相关系数计算公式：Corr(xs, ys)；取值\rou介于-1~+1之间的。正数表示正相关，负数表示负相关。1或-1表示完全相关。 系数值的大小表明了相关性的强弱程度。 Spearman秩相关系数计算公式：SpearmanCorr(xs, ys). 能够缓解离群值以及偏斜分布的影响。   相关性并不意味着因果关系。回归分析regression analysis用来推导因果关系。   检验相关性是否“统计显著”——即多次计算相关性，得到的相关性值始终稳定在一个很小的范围内。
	对数据的研究——抽样 1.随机抽样 （1）简单随机抽样 　　——依据0-1分布的均匀分布CDF函数中选择p，让后得到的CDF的反函数得到x=ICDF(p). （2）分层随机抽样 举例：某单位调查身体状况，整体员工500人抽取100人进行访问。采取分层随机抽样反映整体员工的结构。  （3）整群抽样  （4）系统抽样（等距抽样）

参数估计

	对总体数据整体进行统计——描述统计方法
	总体指标（总体未知参数）不可得或不好计算 样本指标（样本统计量） 依据样本统计量 推测 总体参数