描述变量的最佳方法之一是列出该变量的数据集中至，以及每个值出现的次数，这种描述称为变量的分布。每个值出现的次数占总出现次数的比例称为该值出现的概率。通过这种正态化的处理，对变量各种出现情形的描述可以转化为各种出现情形（随机变量Z）的概率分布。
对于离散型随机变量Z，存在一个与之相关的概率分布函数，描述Z的各个可能值k出现的相应概率值。这个函数通常称作Z的概率质量分布（probability mass function，简写为：PMF）。概率分布函数将每个值映射到其概率。对应离散型正整数Z，可以映射到浮点型的概率值。
以上两张图引自《统计思维——程序员数学之概率统一》一书的第二章和第三章。已知数据是某州婴儿出生时孕妇怀孕周数的统计数据。上图为怀孕周数为k的孕妇人数统计分布，下图将人数统计分布映射到概率分布。
上面针对离散变量z开展研究，提出了概率分布的概念。概率分布用函数描述称作概率质量函数（PMF），这种函数以随机变量z为参数，z取值为1,2，...，k，... 。
第一个要介绍的概率质量函数为常见的Poisson函数：
P(Z=K) = (λke-λ)/k! , k = 0,1,2,....
λ被称为此分布的一个参数，它决定了这个分布的形式。对于Poisson分布来说，λ可以为任意正数。随着λ的增大，得到大值的概率会增大，反之则相反。λ被称为Poisson分布的强度。Poisoon函数被设计出来的广泛使用的原因是λ非常神奇：Poisson分布的期望值等于参数λ。
如果一个随机变量Z存在一个Poisson质量分布，我们可以表示为：
Z~Poi(λ)
Poisson分布的一个重要性质是：它的期望值等于它的参数。即：
E[Z|λ] = λ
这条性质非常有用，进而为了现实问题的解决，发展到研究λ的分布。
下面展示不同λ取值下的概率质量分布。
