数据结构之二叉树(遍历、建立、深度)
1、二叉树的深度遍历
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
对于二叉树的深度遍历，有前序遍历二叉树、中序遍历二叉树、后序遍历二叉树三种形式，下面分别进行学习和介绍。
1.1 二叉树的前序遍历
1）前序递归遍历
规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为ABDGHCEIF。
前序递归遍历的代码实现，如下所示。
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//前序递归遍历void PreOrderTraverse(BiTree t){ if(t != NULL) { printf("%c ", t->data); PreOrderTraverse(t->lchild); PreOrderTraverse(t->rchild); }} |
2）前序非递归遍历
根据前序遍历访问的顺序，优先访问根结点，然后再分别访问左孩子和右孩子。即对任一结点，其可看做是根结点，因此可以直接访问，访问完之后，若其左孩子不为空，按相同的规则访问它的左子树；当访问其左子树时，再访问它的右子树，因此其处理过程如下：
对于任一结点p：
a. 访问结点p，并将结点p入栈；
b. 判断结点p的左孩子是否为空，若为空，则取栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p，循环置a；若不为空，则将p的左孩子置为当前结点p；
c. 直到p为空，并且栈为空，则遍历结束。
前序非递归遍历代码实现，如下所示。
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//前序非递归遍历int NoPreOrderTraverse(BiTree t){ SqStack s; InitStack(&s); BiTree tmp = t; if(tmp == NULL) { fprintf(stdout, "the tree is null.\n"); return ERROR; } while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1)) { while(tmp != NULL) { Push(&s, tmp); printf("%c ", tmp->data); tmp = tmp->lchild; } if(IsEmpty(&s) != 1) { Pop(&s, &tmp); tmp = tmp->rchild; } } return OK;} |
1.2 中序遍历二叉树
1）中序递归遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意这里并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为：GDHBAEICF。
中序递归遍历代码实现如下所示。
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//中序递归遍历void
InOrderTraverse(BiTree t){ if(t
!= NULL) { InOrderTraverse(t->lchild); printf("%c
",
t->data); InOrderTraverse(t->rchild); }} |
2）中序非递归遍历
根据中序遍历的顺序，对于任一结点，优先访问其左孩子，而左孩子结点又可以看做一个根结点，然后继续访问其左孩子结点，直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问，然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下：
对于任一结点：
a. 若其左孩子不为空，则将p入栈，并将p的左孩子设置为当前的p，然后对当前结点再进行相同的操作；
b. 若其左孩子为空，则取栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子；
c. 直到p为空并且栈为空，则遍历结束。
中序非递归遍历代码实现如下所示。
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//中序非递归遍历二叉树int
NoInOrderTraverse(BiTree t){ SqStack
s; InitStack(&s); BiTree
tmp = t; if(tmp
== NULL) { fprintf(stderr,
"the
tree is null.\n"); return
ERROR; } while(tmp
!= NULL || (IsEmpty(&s) != 1)) { while(tmp
!= NULL) { Push(&s,
tmp); tmp
= tmp->lchild; } if(IsEmpty(&s)
!= 1) { Pop(&s,
&tmp); printf("%c
",
tmp->data); tmp
= tmp->rchild; } } return
OK;} |
1.3 后序遍历二叉树
1）后序递归遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。遍历的顺序为：GHDBIEFCA。
后序递归遍历代码实现，如下所示。
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//后序递归遍历void
PostOrderTraverse(BiTree t){ if(t
!= NULL) { PostOrderTraverse(t->lchild); PostOrderTraverse(t->rchild); printf("%c
",
t->data); }} |
2）后序非递归遍历
后序遍历的非递归实现是三种遍历方式中最难的一种。因为在后序遍历中，要保证左孩子和右孩子都已被访问，并且左孩子在右孩子之前访问才能访问根结点，这就为流程控制带来了难题。下面介绍一种思路。
要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。
后序非递归遍历代码实现，如下所示。
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//后序非递归遍历二叉树int
NoPostOrderTraverse(BiTree t){ SqStack
s; InitStack(&s); BiTree
cur; //当前结点
BiTree
pre = NULL; //前一次访问的结点 BiTree
tmp; if(t
== NULL) { fprintf(stderr,
"the
tree is null.\n"); return
ERROR; } Push(&s,
t); while(IsEmpty(&s)
!= 1) { GetTop(&s,
&cur);// if((cur->lchild
== NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild))) { printf("%c
",
cur->data); //如果当前结点没有孩子结点或者孩子结点都已被访问过 Pop(&s,
&tmp); pre
= cur; } else { if(cur->rchild
!= NULL) { Push(&s,
cur->rchild); } if(cur->lchild
!= NULL) { Push(&s,
cur->lchild); } } } return
OK;} |
2、二叉树的广度遍历
广度遍历二叉树（即层次遍历）是用队列来实现的，从二叉树的第一层（根结点）开始，自上而下逐层遍历；在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐一访问。如下图所示，遍历的顺序为：ABCDEFGHI。
按照从根结点到叶结点、从左子树到右子树的次序访问二叉树的结点，具体思路如下：
A. 初始化一个队列，并把根结点入队列；
B. 当队列为非空时，循环执行步骤3到步骤5，否则执行步骤6；
C. 出队列取得一个结点，访问该结点；
D. 若该结点的左子树为非空，则将该结点的左子树入队列；
E. 若该结点的右子树为非空，则将该结点的右子树入队列；
F. 结束。
广度遍历二叉树代码实现，如下所示。
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//层次遍历二叉树
- 广度遍历二叉树 - 队列int
TraverseBiTree(BiTree t){ LinkQueue
q; InitQueue(&q); BiTree
tmp = t; if(tmp
== NULL) { fprintf(stderr,
"the
tree is null.\n"); return
ERROR; } InsertQueue(&q,
tmp); while(QueueIsEmpty(&q)
!= OK) { DeQueue(&q,
&tmp); printf("%c
",
tmp->data); if(tmp->lchild
!= NULL) { InsertQueue(&q,
tmp->lchild); } if(tmp->rchild
!= NULL) { InsertQueue(&q,
tmp->rchild); } } return
OK;} |
3、二叉树的建立
如果要在内存中建立一个如下左图这样的树，wield能让每个结点确认是否有左右孩子，我们对它进行扩展，变成如下右图的样子，也就是将二叉树中的每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一个特定值，比如”#”，称之为扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历序列确定一棵二叉树了。如前序遍历序列为AB#D##C##。
有了这样的准备，就可以看看如何生成一棵二叉树了。假设二叉树的结点均为一个字符，把刚才前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入，实现的算法如下所示。
二叉树建立实现代码一，如下所示。
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//创建树//按先后次序输入二叉树中结点的值(一个字符),#表示空树//构造二叉链表表示的二叉树BiTree
CreateTree(BiTree t){ char
ch; scanf("%c",
&ch); if(ch
== '#') { t
= NULL; } else { t
= (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode)); if(t
== NULL) { fprintf(stderr,
"malloc()
error in CreateTree.\n"); return; } t->data
= ch; //生成根结点 t->lchild
= CreateTree(t->lchild); //构造左子树 t->rchild
= CreateTree(t->rchild); //构造右子树 } return
t;} |
二叉树建立实现代码二，如下所示。
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//创建树方法二int
CreateTree2(BiTree *t){ char
ch; scanf("%c",
&ch); if(ch
== '#') { (*t)
= NULL; } else { (*t)
= (BiTree)malloc(sizeof(BitNode)); if((*t)
== NULL) { fprintf(stderr,
"malloc()
error in CreateTree2.\n"); return
ERROR; } (*t)->data
= ch; CreateTree2(&((*t)->lchild)); CreateTree2(&((*t)->rchild)); } return
OK;} |
其实建立二叉树，也是利用了递归的原理。只不过在原来应该打印结点的地方，改成生成结点、给结点赋值的操作而已。因此，完全可以用中序或后序遍历的方式实现二叉树的建立，只不过代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交互一下即可。
4、二叉树的深度
树中结点的最大层次称为树的深度。对于二叉树，求解树的深度用以下两种方法实现。即非递归和递归的方法实现。
递归求解二叉树的深度实现代码，如下所示。
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//二叉树的深度
- 递归//返回值:
二叉树的深度int
BiTreeDeep(BiTree t){ int
dept = 0; if(t) { int
lchilddept = BiTreeDeep(t->lchild); int
rchilddept = BiTreeDeep(t->rchild); dept
= lchilddept >= rchilddept ? (lchilddept + 1) : (rchilddept + 1); } return
dept;} |
对于非递归求解二叉树的深度，这里采用了层次遍历的原理，通过层次遍历，找到二叉树的最后一个结点。然后，根据该结点，寻找其双亲结点，即找到其上一层，此时深度dept加1，依次进行，直到根结点为止。
非递归求解二叉树深度的实现，如下所示。
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//返回二叉树的深度
- 非递归 - 受层次遍历二叉树的影响//返回值:
二叉树的深度int
NoBiTreeDeep(BiTree t){ LinkQueue
q; InitQueue(&q); BiTree
tmp = t; if(tmp
== NULL) { return
ERROR; } InsertQueue(&q,
tmp); while(QueueIsEmpty(&q)
!= OK) { DeQueue(&q,
&tmp); //printf("%c
", tmp->data); if(tmp->lchild
!= NULL) { InsertQueue(&q,
tmp->lchild); } if(tmp->rchild
!= NULL) { InsertQueue(&q,
tmp->rchild); } } int
deep = 0; BiTree
m = tmp; BiTree
n = t; while(m
!= n) { InsertQueue(&q,
n); while(QueueIsEmpty(&q)
!= OK) { DeQueue(&q,
&tmp); if(m
== tmp->lchild || m == tmp->rchild) { deep++; m
= tmp; break; } if(tmp->lchild
!= NULL) { InsertQueue(&q,
tmp->lchild); } if(tmp->rchild
!= NULL) { InsertQueue(&q,
tmp->rchild); } } } return
deep + 1; //深度从1开始} |
5、参考引用
1）《大话数据结构》
2）严蔚敏老师之《数据结构》
3）http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/25/2153720.html
4）http://blog.chinaunix.net/uid-20788636-id-1841329.html
对于帮助我理解二叉树的各位，非常感谢。
