Matlab解决线性规划问题

线性规划问题的实例与定义

某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。 生产甲机床需用 A、 B机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床需用A 、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为 A机器 10 小时、B 机器 8 小时和C 机器 7 小时。问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润z最大，则 x1，x2应满足

\[\max z=4000x_1+3000x_2\\ s.t.= \begin{cases} 2x_1+x_2\le10,\\ x_1+x_2\le8,\\ x_2\le7,\\ x_1,x_2\ge0. \end{cases} \]

其中：变量x1，x2称为决策变量。max表达式称为问题的目标函数，下面的不等式是问题的约束条件，记为s.t.（即subject to）。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

线性规划的Matlab标准形式及软件求解

线性规划的目标函数可以是求最大值也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于等于也可以是大于等于。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matc lab中规定线性规划的标准形式为

\[\min f^Tx\\ s.t.=\begin{cases} A\sdot x\le b,\\ Aeq\sdot x=beq,\\ lb\le x\le ub.\\ \end{cases} \]

其中：f,x,b,beq,lb,ub为列向量，A，Aeq为矩阵。

调用形式

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %求最小值
[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%求最大值

输入变量

• f为目标函数中的价值系数向量（注意如果要去求最大值，则全部加负号求最小值）
• A为不等式约束系数矩阵
• b为不等式右端常数向量
• Aeq为等式约束系数矩阵
• beq为等式右端常数向量
• lb 为决策变量下界向量
• ub为决策变量上界向量

在调用时，输入参数不存在时，可以将其输入用[]空矩阵表示

输出变量

• x为最优解
• fval为最优目标值

具体实例

• 目标函数与约束条件

\[\max z=2x_1+3x_2-5x_3\\ s.t.=\begin{cases}x_1+x_2+x_3=7,\\2x_1-5x_2+x_3\ge10,\\x_1+3x_2+x_3\le12,\\x_1,x_2,x_3\ge0. \end{cases} \]

• Matlab程序

f=[2;3;-5];
A=[1,1,1];
b=7;
A=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
Aeq=[1,1,1];
beq=7;
lb=zeros(3,1);%创建一个3X1的零矩阵 lb=[0,0,0]也可以
[x,y]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);
x,y=-y

• 运行结果

Optimal solution found.


x =

   6.4286
   0.5714
        0


y =

  14.5714