算法导论学习笔记(2)－归并排序

今天学习了算法导论上的归并排序算法，而且完毕了在纸上写出伪代码，曾经就学过归并可是理解的不够透彻。以

前还一直困惑：为什么明明归并排序比快排的时间复杂度更稳定。为什么库函数不用归并而用快排。如今知道原因了，由于归并排序必须开额外的空间。并且空间开销还比較大，以下介绍算法：

首先，归并排序用到了分治的思想。把大数据分成若干个小数据，然后再分别对小数据进行处理，最后把小数据

合并成大数据。

其次。归并排序用到了一个最重要的特点。就是把两组已经排序的数据合并成一组有序数据，而且该过程的时间复

杂度为O(n)。

最后，算法便出来了，对于一个数组A[n]来说，我们要对他进行排序，首先，我们如果A[0~n/2]和A[n/2+1,n-1]为

有序序列,那么。我们就能够在O(n)的时间内排好序，但是。问题是，A[0~n/2]和A[n/2+1,n-1]并非有序序列，于是我们就要将他们都变成有序序列，怎样变呢？我们再分别对A[0~n/2]和A[n/2+1,n-1]进行排序就可以，对于A[0~n/2]来说，我们运用和以上同样的方法，把他分成A[0~n/2/2]和A[n/2+1,n/2]，然后假设这两个数组均为有序序列的话，那么就能够把它们合并起来，然后在返回到上一层了。那么怎样才干推断他们为有序呢？当仅仅有一个元素的时候这个元素便是有序的。所以，仅仅须要递归到元素个数为1。然后再返回合并就可以。

以下是对以下下代码中的merge()（合并)函数正确性的证明:

1.当第一次循环迭代的时候，i = L, A[L, i-1]为空。是有序的序列（空也算有序序列），而且含有i-L=0个LA[n1],RA[n2]的最小的数，这时c1 = c2 = 0, LA[c1]和RA[c2]均为彼此数组中的最小的元素。

2.如果第i次迭代的时候LA[c1] <= RA[c2], 这时LA[c1]便是还没有被拷贝到A中的最小的元素。此时A中含有i-L个最小的元素。当运行A[i] = LA[c1]时，A中便含有i-L+1个最小的元素，然后添加c1和i进行下一次迭代。如果第一次时LA[c1] > RA[c2]。运行相似的过程。

3.循环结束后，i = r+1, 此时A中含有i-L = r-L+1个最小的元素。恰好是l~r全部的元素，而且已排好序，证毕。

//insertion_sort
#include <iostream>
using namespace std;
const int inf = (1<<28);

void print(int* A, int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << A[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}
void merge(int *A, int l, int m, int r)
{
    int n1 = m-l+1, n2 = r-m;
    int lA[(const int)(n1+1)], rA[(const int)(n2+1)];
    for (int i = 0; i < n1; i++) {
        lA[i] = A[i+l];
    }
    for (int i = 0; i < n2; i++) {
        rA[i] = A[m+1+i];
    }
    lA[n1] = rA[n2] = inf;
    int c1 = 0, c2 = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        if (lA[c1] <= rA[c2]) {
            A[i] = lA[c1++];
        }
        else {
            A[i] = rA[c2++];
        }
    }
}
void merge_sort(int *A, int l, int r)
{
    if (l < r)
    {
        int m = (l + r) / 2;
        merge_sort(A, l, m);
        merge_sort(A, m+1, r);
        merge(A, l, m, r);
    }
}
int main()
{
    int A[10] = {43,2,53,1,8,29,52,4,8,10};
    
    cout << "before sorted: ";
    print(A, 10);
    
    merge_sort(A, 0, 10);
    
    cout << "after sorted: ";
    print(A, 10);
    
    return 0;
}