实函数傅里叶变换的奇偶虚实性理解
本文来源:https://blog.csdn.net/qiuchangyong/article/details/51245293
1、前期准备
由傅里叶变换的定义,可以得到:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925094730791-1530706982.png)
因此我们可以知道,频谱函数的实部和虚部分别为:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925094840173-816144761.png)
进而我们可以知道,频谱函数的幅值和相位分别为:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925094942725-899662958.png)
2、x(t)为实函数的情况
根据:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925095100959-290862541.png)
我们可以得到频谱函数的实部和虚部关于w的奇偶性:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925095154932-2055383462.png)
即:当x(t)为实函数的时候,其频谱函数的实部为偶函数,虚部为奇函数
根据:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925095342040-440522302.png)
可知:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925095406445-1925083264.png)
即:当x(t)为实函数的时候,其幅度谱为偶函数,相位谱为奇函数
3、x(t)为实偶函数的情况
根据:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925095727281-1471873567.png)
可知:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925095818619-878282820.png)
另外考虑到第2部分中,我们论证过实函数的频谱实部为偶函数
即:当x(t)为实偶函数的时候,其频谱(非幅度谱)为实偶函数(只有实部),相位谱恒为0(虚部恒为0)
4、x(t)为实奇函数的情况
根据:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925100258221-159895609.png)
可知:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/2039513/202109/2039513-20210925100316018-405927930.png)
另外考虑到第2部分中,我们论证过实函数的频谱虚部为奇函数