视觉SLAM十四讲 学习笔记2——ch3三维空间刚体运动

旋转矩阵与欧式变换：

 

 

　　其中e1，e2，e3和e1'，e2'，e3'分别为旋转变换前后的坐标系的标准正交基

　　上式左乘：

　　　　　　　　

 

　　则有：　　

 

 

　　其中中间的矩阵定义为R，它描述了旋转本身，因此称之为旋转矩阵——旋转矩阵是行列式为1的正交矩阵。（行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵）　

　　特殊正交群（Special Orthogonal Group）：

　　旋转矩阵的逆（或转置）刻画了一个相反的旋转。

　　另外，如果再添加一个平移变换，则表达式可以写为：

 

 

 变换矩阵与齐次坐标：　　　　

 

 

 　　其中T称为变换矩阵，这里我们再一个三维向量为末尾添加一个1，将其变成了四维向量，称为齐次坐标，这是一个数学技巧。通过齐次坐标，虽然增加了一个自由度，但是允许我们把变换写成线性的形式。

　　特殊欧式群（Special Euclidean Group）：

 

 

 　　另外，自然地，可以得到反变换：　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

Eigen：

　　Eigen没有源文件，只有头文件，所以也就不需要做链接（target_link_libraries()）。

旋转向量与欧拉角：

　　旋转向量（角轴）：3个量，没有约束

　　旋转向量与旋转矩阵只是表达方式不同，但是表达的东西可以是同一个。角轴与旋转矩阵的转换关系，可以由罗德里格斯公式来描述：

　　角轴转旋转矩阵：

 

 

 　　旋转矩阵转角轴：

 

 

　　转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量，求解此方程,再归一化,就得到了旋转轴

　　欧拉角：把一个旋转分解成 3 次绕不同轴的旋转

　　欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题：在俯仰角为 ±90 ◦ 时,第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴,使得系统丢失了一个自由度(由 3 次旋转变成了 2 次旋转)。这被称为奇异性问题,在其他形式的欧拉角中也同样在。

四元数（Quaternion）：

　　四元数既是紧凑的，又没有奇异性。

 

　　虚部之间运算关系：

 

 

 

　　四元数的运算法则：

　　　　1、加减法：

　　　　2、乘法：

　　　　3、模长：

　　　　4、共轭：

　　　　5、逆：

 

 

 单位四元数的逆与共轭相同

　　　　6、数乘：

 

 

 　　四元数表示旋转：

 

　　　　把三维空间的点p用一个虚四元数来描述：

 

 　　　　旋转后得到的变换点，可以表示为这样的乘积：

　　　　这里的乘法均为四元数乘法，结果也是四元数。

　　　　最后把 p ′ 的虚部取出，即得旋转之后点的坐标。

　　　　并且，可以验证，计算结果的实部为0，故为纯虚四元数。

　　四元数与旋转矩阵的转换：
　　　　

相似、仿射、射影变换：

 

Eigen几何模块：