最小生成树——Kruskal算法理解

背景：本文是在小甲鱼数据结构教学视频中的代码的基础上，添加详细注释而完成的。该段代码并不完整，仅摘录了核心算法部分，结合自己的思考，谈谈理解。

Prim算法理解：

如图（摘录自小甲鱼教学视频中的图片），是一个带有权值的连通网：

  根据上图可以列写出该连通网的邻接表，为了方便直观的理解：（邻接表初始化需按照权值增序排列）

edges数组	begin	end	weight
edge0	4	7	7
edge1	2	8	8
edge2	0	1	10
edge3	0	5	11
edge4	1	8	12
edge5	3	7	16
edge6	1	6	16
edge7	5	6	17
edge8	1	2	18
edge9	6	7	19
edge10	3	4	20
edge11	3	8	21
edge12	2	3	22
edge13	3	6	24
edge14	4	5	26

以下简单描述算法运行的流程（仅描述前几次循环，旨在理解算法工作过程），主要记录和对比parent数组和最小生成树的的逐渐生成的过程：

Kruskal算法核心思想：尽可能只选用权值最小的边连成树，即为最小生成树，因此以权值升序顺序对各边进行循环判断。最理想的情况就是权值最小的几条边恰好连成最小生成树，但是实际过程中很可能会在连接过程中形成环路（树中不允许有环路），因此一个重要的步骤就是判断当前边的加入是否会导致生成树中出现环路（即代码中parent数组的作用和m！=n判断条件的来历）。

Kruskal算法和Prim算法的主要区别就是Prim算法是以定点为单位，Kruskal算法是以边为单位。因此这里所说的（第一次、第二次）循环过程实际是对于上面的邻接表中每一条进行循环判断（是否需要添加到最小生成树中）。

在理解以下过程的时候，先浏览几遍最下方的代码，逐步对比，最容易理解。

以下对于边以及循环次数的命名以0开始，为了和上面的邻接表相对应，以防止混淆。

0、第0次（edge0）

第0次循环，对第0条边进行判断：

edges数组	begin	end	weight
edge0	4	7	7

执行Find函数，得到的n = 4,m = 7。

m ！= n 表示不存在环路（这里不理解可以继续看以下的几个循环），则在parent数组中记录这条边带来的连接关系（parent[4] = 7）。

parent数组	0	1	2	3	4	5	6	7	8	n	m
初始化	0	0	0	0	0	0	0	0	0	\	\
第0次	0	0	0	0	7	0	0	0	0	4	7

生成树：

1、第1次

第1次循环，对第1条边进行判断：

edges数组	begin	end	weight
edge1	2	8	8

执行Find函数，得到的n = 2，m = 8。

m != n 表示不存在环路，则记录连接关系（parent[2] = 8）。

parent数组	0	1	2	3	4	5	6	7	8	n	m
第0次	0	0	0	0	7	0	0	0	0	4	7
第1次	0	0	8	0	7	0	0	0	0	2	8

生成树：

此处省略几次循环......只叙述比较有特点的循环。

4、第4次

第4次循环，对第4条边进行判断：

edges数组	begin	end	weight
edge4	1	8	12

执行Find函数（参考下面第3次迭代后的parent数组），parent[1] = 5; parent[5] = 8; 得到的n = 5。parent[8] = 0; 得到m = 8。

m != n 表示不存在环路，则记录连接关系（parent[5] = 8）。

parent数组	0	1	2	3	4	5	6	7	8	n	m
第3次	1	5	8	0	7	0	0	0	0
第4次	1	5	8	0	7	8	0	0	0	5	8

生成树：

这里要注意：parent数组中的对应关系并不表示生成树中的边的关系，比如之前的循环中会在parent数组中添加如下内容：parent[1] = 5; 它表示的是1和5定点在同一个生成树中，之间存在连接关系，但并不表示存在V1->V5这样的一条边。（我自己理解的是，这个关系实际是由V0->V5的这样的一条边的加入而生成的，但是parent[0]已经被幅值为1，即表示与V1存在连接关系，故借用V1来表示出这个关系，自己的一种理解，可能错误，不要干扰思维）。

此处再次省略几次循环......只叙述一次比较特殊的循环（m==n的情况）。

7、第7次

第7次循环，对第7条边进行判断：

edges数组	begin	end	weight
edge7	5	6	17

执行Find函数（参考下面第6次迭代后的parent数组），parent[5] =8; parent[8] = 6; 得到的n = 6。parent[6] = 0; 得到m = 6。

m == n 表示存在环路，则忽略这条边（不添加到最小生成树中）。

parent数组	0	1	2	3	4	5	6	7	8	n	m
第6次	1	5	8	7	7	8	0	0	6
第7次	1	5	8	0	7	8	0	0	6	6	6

在实际的生成树可以直观的看出V5和V6之间的连线不应该加入（会形成环路），如下图为进行第7次循环之前的生成树情况：

可见，V5->V6边的加入将导致最小生成树中出现环路，因此舍弃。

......

如此对所有边进行循环，判断是否应该加入最小生成树中，直至循环结束，则生成树完成。

 

代码如下：（仅Kruskal算法的两个核心函数）

int Find(int *parent,int f)
{
	/* parent该数组元素>0表示已完成的生成树中存在与该顶点有连接关系的顶点 */
	while(parent[f] > 0)
	{
		/* 则迭代寻找与该点存在连接关系的结束顶点(当前所在树的结束顶点) */
		f = parent[f];
	}
	return f;
}

void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
	int i,n,m;
	/* 边数组:应按照边的权值升序进行初始化 */
	Edge edges[MAXEDGE];
	/* parent数组用来存放顶点之间的连接关系 以判断是否存在环路 */
	int parent[MAXVEX];

	/* parent数组初始化 */
	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
	{
		parent[i] = 0;
	}

	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
	{
		n = Find(parent,edges[i].begin);
		m = Find(parent,edges[i].end);

		/* 若n == m则表示形成环路 */
		if(n != m)
		{
			/* 若未形成环路 */
			/* 将该边添加到生成树中(此处即打印) */
			/* 将由该边引起的连接关系保存到parent数组中(注意这里不是简单的将边保存到parent数组中 而是保存了一种连接关系) 表示该顶点已经在生成树中 */
			/* 存放方式:parent[p] = q表示:从顶点p到顶点q存在通路(即顶点p和顶点q在同一个生成树中) */			
			parent[n] = m;
			printf("(%d,%d) %d",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
		}
	}
}

 

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 ——2020/3/12