《机器学习》第一次作业——第一至三章学习记录和心得
第一章 模式识别基本概念
1.1 什么是模式识别
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模式识别的定义：根据已有知识的表达或者说是函数映射，针对待识别模式，判别决策其所属的类别或者预测其对应的回归值，是一种推理过程，可划分为“分类”和“回归”两种形式。
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分类：输出量是离散的类别表达，即输出待识别模式所属的类别——二类/多类分类
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回归：回归是分类的基础——离散的类别值是由回归值做判别决策得到的。输出量是连续的信号表达(回归值)；输出量维度：单个/多个维度
1.2 模式识别数学表达
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模式识别数学解释：可以看做一种函数映射f(x)，将待识别模式x从输入空间映射到输出空间。函数f(x)是关于已有知识的表达。
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输入空间：原始输入数据x所在的空间
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输出空间：输出的类别/回归值y所在的空间
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模型：已有知识的表达方式，即f(x)
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模型可用于回归和分类
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判别函数：特定的非线性函数，记作函数g。通常已知，不作为模型组成
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二类分类：sign函数
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多类分类：max函数(去最大的回归值所在维度对应类别)
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特征的特性：1.具有辨别能力：提升不同类别之间的识别性能，基于统计学规律而非个例；2.具有鲁棒性：针对不同的观测条件，仍能够有效表达类别之间的差异性
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特征向量的定义和性质：
1.3 特征向量的相关性
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点积的代数定义：点积的结果是一个标量表达；点积具备对称性；点积是一个线性变换
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点积的几何定义：点积可以表征两个特征向量的共线性，即方向上的相似程度。点积=0，说明两个向量是正交的
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残差向量：向量x分解到向量y方向上得到的投影向量原向量x的误差
- 欧氏距离：表征两个向量之间的相似程度（综合考虑方向和模长）
1.4 机器学习基本概念
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线性模型：模型结构是线性的(直线、面、超平面）：y=(W^T)x+W0（w,w0是模型参数）
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非线性模型：模型结构非线性，y=g(x)。常见非线性模型：多项式、神经网络、决策树
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样本量与模型参数量的关系：N=M:参数有唯一解；N>>M:没有准确的解；N<<M:无数个解/无解
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目标函数：对于over-determined的情况，需要额外添加一个标准，通过优化该标准来确定一个近似解，这个标准就是目标函数，也叫代价函数或损失函数
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机器学习方式：真值（标签）&标注；监督式学习：训练样本及输出真值都给定情况下的机器学习；无监督式学习：只给定训练样本，没有给输出真值情况下的机器学习算法；半监督式学习：既有标注的训练样本，又有未标注的训练样本情况下的学习算法
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强化学习：机器自行探索决策、真值滞后反馈的过程
1.5 模型的泛化能力
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泛化能力：即训练得到的模型不仅要对训练样本有决策能力，也要对新的模式具有决策能力。
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过拟合：泛化能力低的表现。模型训练阶段表现很好，但在测试阶段表现很差。模型过于拟合训练数据
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提高泛化能力：选择复杂的模型；正则化：在目标函数中加入关于参数的正则项，通过调节正则系数，降低过拟合的程度
1.6 评估方法与性能指标
- 评估方法
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留出法：随机划分：训练集和测试集，用训练集训练模型，用测试集评估模型量化指标；取统计值：取量化指标的平均值/方差/最大值等作为最终性能量化评估结果
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K折交叉验证：将数据集分割成K个子集，从中选取单个子集作为测试集，其余作为训练集；交叉验证重复K次，使每个子集被测试一次；K次评估值取平均作为最终量化评估结果
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留一验证：每次只取数据集中一个样本做测试集，其余做训练集；每次样本测一次，取所有评估值的平均值作为最终评估结果；等同于K折交叉验证，K为数据集样本总数
- 性能指标
第二章 基于距离的分类器
2.1 MED分类器
- 基于距离的决策：初级的模式识别技术，是其他识别决策技术的基础
- 定义：把测试样本到每个类之间的距离作为决策模型，将测试样本判定为与其距离最近的类
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类的原型：用来代表这个类的一个模式或者一组量，便于计算该类和则是样本之间的距离
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距离度量标准
同一性：d(x,z) = 0,iff x = z
非负性：d(x,z) >= 0
对称性:d(x,z) = d(z,x)
三角不等式:d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z)
- 常见的几种距离度量
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MED分类器的概念：最小欧式距离分类器
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MED分类器的决策边界方程
2.2 特征白化
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目的：将原始特征映射到一个新的特征空间，使得在新空间中特征的协方差矩阵为单位矩阵，从而去除特征变化的不同及特征之间的相关性
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步骤：1.去除特征之间的相关性——解耦：通过W1实现协方差矩阵对角化；2.对特征进行尺度变换——白化：通过W2对上一步变化后的特征再进行尺度变换，实现所有特征具有相同方差。
2.3 MICD分类器
- 概念：最小类内距离分类器，基于马氏距离，经过特征正交白化，去除特征变化的不同及特征之间的相关性，缺陷是会选择方差较大的类。
第三章 贝叶斯决策与学习
3.1 贝叶斯决策与MAP分类器
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后验概率：给定一个测试模式x，决策其属于哪个类别需要依赖于P(Ci|x)，该表达式称为后验概率，表达给定模式x属于类Ci的可能性。
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贝叶斯规则：已知先验概率和观测概率，模式𝒙属于类𝐶𝑖后验概率的计算公式为：
- MAP分类器：将测试样本决策分类给后验概率最大的那个类。给定所有测试样本， MAP分类器选择后验概率最大的类，等于最小化平均概率误差，即最小化决策误差。
3.2 MAP分类器：高斯观测概率
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先验和观测概率表达方式：1.常数表达：P（Ci）= 0.2；2.参数化解析表达：高斯分布……；3.非参数化表达：直方图、核密度、蒙特卡洛……
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MAP分类器会倾向于选择先验概率大，分布紧致的类，解决了MED和MICD的问题
3.3 决策风险与贝叶斯分类器
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损失：表征当前决策动作相对于其他候选类别的风险程度，记为λ（αi|Cj），简写为λij
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贝叶斯分类器：在MAP分类器基础上，加入决策风险因素，得到贝叶斯分类器，给定一个测试样本𝒙，贝叶斯分类器选择决策风险最小的类。给定所有测试样本 {𝒙}，贝叶斯分类器的决策目标： 最小化期望损失。
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朴素贝叶斯分类器：如果特征是多维的，则特征之间的相关性会导致学习困难。通过假设特征之间是相互独立（即独立同分布），进而简化计算，此为朴素贝叶斯
3.4 最大似然估计
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参数化方法：给定概率分布的解析表达，学习这些解析表达中的参数，又称参数估计
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最大似然估计
3.5 最大似然的估计偏差
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无偏估计：如果一个参数的估计量的数学期望是该参数的真值，则该估计量称作无偏估计，意味着只要训练样本个数足够多，该估计值就是参数的真实值
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高斯分布均值的最大似然估计是无偏估计；高斯分布协方差的最大似然估计是有偏估计
3.6 贝叶斯估计
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贝叶斯估计：给定参数𝜃分布的先验概率以及训练样本，估计参数θ分布的后验概率
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贝叶斯估计具备不断学习的能力。允许最初不太准确的估计，随着训练样本的不断增加而修正估计值，从而达到期望真值
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贝叶斯估计流程步骤
3.7 KNN估计
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若概率分布形式未知，可通过无参数技术实现概率密度估计。常用五参数技术：KNN、直方图、核密度估计
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KNN估计：给定𝒙，找到其对应的区域𝑅使其包含𝑘个训练样本，以此计算𝑝（𝒙）
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KNN估计的优缺点：可以自适应的确定𝒙相关的区域𝑅的范围，但不是真正的概率密度表达，概率密度函数积分是 ∞ 而不是1
3.8 直方图与核密度估计
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KNN估计的问题：在推理测试阶段仍需存储所有训练样本。对任意模式x，需要以其为中心，在训练样本中选k个相邻点估计该模式的概率；区域R是由第k个相邻点确定的，易受噪声影响
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直方图估计：直接将特征空间划分为m个格子(bins)，每个格子是一个区域R，位置固定、大小固定，相邻格子不重叠，k值不需要给定
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核密度估计：以𝒙为中心固定带宽h，计算落入R的样本个数，以此计算𝑝（𝒙）。
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核密度估计的优缺点：可以自适应确定R的代销，克服了KNN估计存在的噪声影响。但是要储存所有训练样本，耗费空间大。
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带宽选取的原则：泛化能力。因为给定训练样本数量是有限的，故要求根据训练样本估计出的概率分布既能符合训练样本，同时也要有一定预测能力，即能估计未看见的模式
