伽罗华域（有限域）及其运算规则（包含大量例子）
模运算
除法定理
\(\mathbb{Z}=\{\cdots,-1,0,1,\cdots\}\)为整数集，对任何整数a和任何正整数n存在唯一整数q和r，满足\(\{r:0\le r<n,r\in \mathbb{Z}\}\),且\(a=qn+r\)。称\(q=\left \lfloor a/n \right \rfloor\)为除法的商，\(\lfloor \rfloor\)表示向下取整， \(r\equiv a \mod n\)为除法的余数。
简单例子
\(19\mod 11\equiv 8\mod11\)
\(-7 \mod 11\equiv 4\mod11\)
模运算的好处：一些程序进行线性运算的时候，由于存储空间大小是固定的，可能存在结果溢出的情况，模运算可以将\(x\)结果始终确定在一个范围即\(\{x:0\le x<n,x\in \mathbb{Z}\}\)内，从而避免溢出。
有限群
群\((S,\oplus )\)是集合\(S\)和二元运算符\(\oplus\)组成，顾名思义群中的元素个数是有限的。对于该运算应该满足以下性质：
- 封闭性：对于任意\(a,b\in S\)，有\(a\oplus b \in S\)。
- 单位元：存在一个元素\(e \in S\)，称\(e\)为单位元，对所有\(a\in S\)，满足\(e \oplus a=a\oplus e = a\)。
- 结合律：对任意\(a,b,c\in S\),有\((a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c)\)。
- 逆元：对任意\(a\in S\)，存在\(b\in S\)，满足\(a\oplus b=b\oplus a=e\)。
模n加法群
定义群\((\mathbb{Z}_n,+_n)\)，其中\(\mathbb{Z}_n=\{x|0\le x<n,x\in\mathbb{Z}\}\)，\(+_n\)指在模n上的加法，即\(a+_n b = a+b\mod n\)，群\((\mathbb{Z}_5,+_5)\)的运算表为
| \(+_5\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
在该群中单位元为0，0的逆元为0，1的逆元为4。
模n乘法群
定义群\((\mathbb{Z}_n^*,\cdot_n)\),其中\(\mathbb{Z}^*_n=\{x\in \mathbb{Z}_n|gcd(a,n)=1\}\)，\(gcd(a,n)\)表示求a和n的最大公因数，若两数的最大公因数为1则两个数互素，\(\cdot_n\)指在模n上的乘法，即\(a \cdot_nb=a\cdot b \mod n\)，群\((\mathbb{Z}_8^*,\cdot_8)\)的运算表为
| \(\cdot_8\) | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 3 | 1 | 7 | 5 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 7 | 7 | 5 | 3 | 1 |
注意\(\mathbb{Z}_8^*=\{1,3,5,7\}\ne\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\)，因为0,2,4,6和8并不互素。
构造\((\mathbb{Z}_8,\cdot_8)\)的运算表如下
| \(\cdot_8\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 0 | 2 | 4 | 6 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 1 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 | 4 |
| 5 | 0 | 5 | 2 | 7 | 4 | 1 | 6 | 3 |
| 6 | 0 | 6 | 4 | 2 | 0 | 6 | 4 | 2 |
| 7 | 0 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
该运算并不存在逆元，因而不能构成群。
当\(n\)取素数时，\(\mathbb{Z}^*_n=\{1,2,\dots,n-1\}\)，因为n必然与比其小的所有数互素。
| \(\cdot_5\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
异或群
定义群\((\mathbb{Z}_n,\oplus)\)，其中\(\mathbb{Z}_n=\{x|0\le x<n,x\in\mathbb{Z}\}\)，\(\oplus\)指异或运算，群\((\mathbb{Z}_4,\oplus)\)的运算表为
| \(\oplus\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 0 | 3 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 |
显然此时，单位元为0，任何元素的逆元为其自身。
伽罗华域
伽罗华域也称为有限域，域\((R,+,-,\cdot,\div)\)由运算元素集合和四则运算组成，由于减法、除法分别和加法、乘法是逆运算关系，只需要关注加法和乘法即可。对于加法来说，每个元素要求有对应的加法逆元；对于乘法来说，除0以外的每个元素要求要有对应的乘法逆元。关于群、环、域的概念进一步了解可阅读这篇博客。
伽罗华域\(GF(q)\)表示
\(q\)指有限域的阶，在有限域中阶等于元素个数，有限域的阶通常是素数\(P\)或是素数幂\(P^W\)，即\(q = P 或P^W\)。
有限域\(GF(P)\)
\(GF(P)\)被称为P阶素数域，\(P\)为素数。运算元素的集合为\(\mathbb{Z}_p\)，加法和乘法运算要在模p上进行，即此时的加法和乘法运算分别为\(+_p,\cdot _p\)。在\(GF(P)\)上\(a\equiv b \mod P\)与a=b相同，这意味着\(a = b \to a=kn+b,k \in \mathbb{Z}\)。当\(P\)为素数时，显然所有大于0小于p的整数和是互素的，根据上面介绍的模n乘法群的概念，显然除去0以外，每个元素都能找到其逆元。
对于\(GF(2)\)，仅包含了元素0和1,加法表为
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | \(0 \ (1+1 =2 \mod 2\equiv 0 \mod 2)\) |
乘法表为
| \(\cdot\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
有限域\(GF(P^w)\)
当\(n>1\)时，\(GF(P^w)\)可以表示为系数属于\(GF(P)\)等价域上的多项式，\(w\)表示多项式不能超过的阶。举个栗子，对于\(GF(3^4)\)，来说其包含了多项式\(0,1,2,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2,x^2+x,
x^2+x+1,\cdots,2x^3+2x^2+2x+2\),即多项式系数为0,1,2，此时\(w=4\)，多项式阶数不能超过4，符合这两个条件的多项式个数为\(P^w\)，注意这里的有限域的集合中的元素可以看成多项式，即加法和乘法是指多项式的加法和乘法，特殊之处在于对于计算后的各项系数需要取模\(P\)，同时对整体还需要取模\(f(x)\)。参考\(GF(P)\)的取模方法，这里取的模\(f(x)\)也应该是多项式，关于多项式的运算规则可以查看这篇博客。接下来我会举出大量栗子帮助理解。
对于\(GF(2^3)\)，其包含了元素有8个分别为\(0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1\)
其可取的模为\(x^3+x^2+1\),\(x^3+x+1\)
在有限域\(GF(2^w)\)中，需要对多项式各项系数取模2
\((x+1)^2=x^2+2x+1\equiv x^2+1\)
\(3x^2-x-1\equiv x^2+x+1\)
\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\equiv x^3+x^2+x+1\)
在有限域\(GF(3^w)\)中，需要对多项式各项系数取模3
\((x+1)^2\equiv x^2+2x+1\)
\(3x^2-x-1\equiv 2x+2\)
\((x+1)^3\equiv x^3+1\)
接下来需要进行取模，模为\(f(x)\)，这个模等同于不可约多项式或是本原多项式，本原多项式是不可约多项式的特例，即在不可约多项式中除去最高阶的项，剩余项的阶最小那个多项式定义为本原多项式。希望对不可约多项式和本原多项式有更多了解的，可以参考这篇博客。对于\(GF(2^3)\)，模可以取\(x^3+x^2+1\)或\(x^3+x+1\)，这两个多项式也就是阶为3的不可约多项式。
再列举几个计算案例
在\(GF(2^3)\)，模取\(x^3+x+1\) ，计算\(4x^5+3x^3+1 \mod x^3+x+1\)
回想整数除法\(11/5=2余1\)，\(11\equiv 1\mod 5\)
\(\frac{\left(4x^5+3x^3+1\right)}{x^3+x+1}=4x^2-1+\frac{-4x^2+x+2}{x^3+x+1}\)
那这里余项为\(-4x^2+x+2\)，即\(4x^5+3x^3+1 \mod x^3+x+1 \equiv-4x^2+x+2\mod x^3+x+1（注意这里是对各项系数取模2，与多项式的模无关）\equiv x \mod x^3+x+1\)
或者先对\(4x^5+3x^3+1\)系数先取模2，即\(4x^5+3x^3+1=x^3+1\)
\(\frac{x^3+1}{x^3+x+1}=1+\frac{-x}{x^3+x+1}\)，对余项\(-x\)的系数\(-1\)取模2，结果为\(x\)。
再举一个例子
\((1+2m)x^2+(1+2n)x\equiv x^2+x \mod x^3+x+1\)，其中\(m,n\in \mathbb{Z}\)
| 幂 | 多项式 模为\(x^3+x^2+1\) | 二进制 模为\(x^3+x^2+1\) | 多项式 模为\(x^3+x+1\) | 二进制 模为\(x^3+x+1\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 000 | 0 | 000 |
| \(x^0\) | 1 | 001 | 0 | 001 |
| \(x^1\) | \(x\) | 010 | 2 | 010 |
| \(x^2\) | \(x^2\) | 100 | \(x^2\) | 100 |
| \(x^3\) | \(x^2+1\) | 101 | \(x+1\) | 011 |
| \(x^4\) | \(x^2\) | 100 | \(x^2+x\) | 110 |
