114. 不同的路径（dp动态规划）

114. 不同的路径

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有一个机器人的位于一个 m × n 个网格左上角。

机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。

问有多少条不同的路径？

样例

Example 1:

Input: n = 1, m = 3
Output: 1	
Explanation: Only one path to target position.

Example 2:

Input:  n = 3, m = 3
Output: 6	
Explanation:
	D : Down
	R : Right
	1) DDRR
	2) DRDR
	3) DRRD
	4) RRDD
	5) RDRD
	6) RDDR

注意事项

n和m均不超过100
且答案保证在32位整数可表示范围内。

输入测试数据 (每行一个参数)如何理解测试数据？

 

'''

1.确定状态 f[m-1][n-1] 最终状态 

最后一步：最后一步的前一步一定是在f[m-2][n-1] 或者f[m-1][n-2]

子问题：可以转换为到前一步的次数

状态： 设f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到(i,j)

2.转移方程:f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] 

也就是说到[i][j]位置的方法总数 = 到[i-1][j] + 到[i][j-1]的方法总数，因为他的前一步一定在这两个位置，两个可能次数和

3.初始条件和边界情况

初始条件:f[0][0] = 1

边界情况:移动到m-1和n-1为止

以及如果是i=0或者j=0的时候，次数只能为1,f[0][j] = 1 或者 f[i][0] = 1 >>因为机器人只能是向下或者向右，所以只有一种走的可能

4.计算顺序

f[0][0] = 1

第0行:f[0][0],f[0][1]...f[0][n-1]

...

第m行:f[m-1][0],f[m-1][1]...f[m-1][n-1]

'''

 

动态规划版本:lintcode通过

class Solution:
    """
    @param m: positive integer (1 <= m <= 100)
    @param n: positive integer (1 <= n <= 100)
    @return: An integer
    """
    def uniquePaths(self, m, n):
        # write your code here
        #动态规划dp
        #初始条件
        res = []
        for x in range(m):
            res.append([0]*n)
        
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                ##初始边界，初始条件res[0][0]也放在了这里
                if i == 0 or j == 0:
                    res[i][j] = 1 
                    continue
                res[i][j] = res[i-1][j] + res[i][j-1]
        
        return res[m-1][n-1]