线性模型之对数几率回归
广义线性模型：\(y=g^{-1}(w^Tx+b)\)
- \(g^{-1}(x)\)，单调可微函数
如果用线性模型完成分类任务如何做?
- 根据线性模型可知，找到一个单调可微函数将分类任务的真实标记\(y_i\)与线性模型的预测值联系起来即可。
广义线性模型对样本要求不必要服从正态分布、只需要服从指数分布簇(二项
分布、泊松分布、伯努利分布、指数分布等)即可；广义线性模型的自变量可
以是连续的也可以是离散的.
logistic回归
logistic/sigmoid函数：
- \(p=h_\theta(x)=g(\theta^Tx+b)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx+b}}\)
- \(ln\frac{y}{1-y} = \theta^Tx+b\)
- \(ln\frac{y}{1-y}\)：对数几率，将预测的结果逼近真实标记的对数几率
- \(g^`(z)=g(z)(1-g(z))\)
将y视为类后验概率估计\(h_\theta(x)=P(y=1|x)\)，则：
- \(P(y=1|x;\theta)=(h_\theta(x))\)
- \(P(y=0|x;\theta)=1-(h_\theta(x))\)
- \(P(y|x;\theta)=(h_\theta(x))^y(1-h_\theta(x))^{1-y}\)
第一步：似然函数:
- \(L(\theta)=\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=\prod_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}\)
第二步：取对数似然函数：
- \(l(\theta)=L(\theta)=\sum^m_{i=1}(y^{(i)}logh_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)})))\)
Logistic损失函数：\(-l(\theta)=\sum^m_{i=1}(-y^{(i)}ln(h_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})ln((1-h_\theta(x^{(i)}))))\)$
第三步：对属于j类别\(\theta\)求导：
- \(\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j} =\sum^m_{i=1}(\frac{y^{(i)}}{g(\theta^Tx^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-g(\theta^Tx^{(i)})})\cdot g(\theta^Tx^{(i)})(1-g(\theta^Tx^{(i)}))\cdot\frac{\partial \theta^Tx^{(i)}}{\partial \theta_j}\)
- =\(\sum^m_{i=1}(y^{(i)}(1-g(\theta^Tx^{(i)}))-(1-y^{(i)})g(\theta^Tx^{(i)})\cdot x^{(i)}_j\)
- =\(\sum^m_{i=1}(y^{(i)}-g(\theta^Tx^{(i)})\cdot x^{(i)}_j\)
第四步：梯度求解
- 批量梯度下降：
- for j=1 to n:
\(\theta_j=\theta_j +\alpha\sum^m_{i=1}(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}\)
- for j=1 to n:
- 随机梯度下降法（SGD）
- for j=1 to n:
\(\theta_j=\theta_j +\alpha(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}\) - 与批量梯度下降法主要体现在权重不同
- for j=1 to n:
import numpy as np
# 假设空间函数：h(x)
def sigmoid (xArr):
xMat = np.mat(xArr)
return xMat.T * xMat
# 批量梯度下降法
# alpha：学习率 maxCycle：学习的迭代次数
def gradAscent (dataMatin,labels, alpha=0.1, maxCycle=100):
dataMatrix= np.mat(dataMatin)
labelsMatrix = np.mat(labels).T
m,n = np.shape(dataMatrix)
# 初始化权重
weights = np.ones((n,1))
for k in maxCycle:
# error, dataMatrix 为m*n的矩阵
error = labelsMatrix - sigmoid(dataMatrix *weights)
weights = weights + alpha * dataMatrix.T * error
return weight
# 随机梯度下降法
# alpha：学习率
def gradAscent (dataMatin,labels, alpha=0.1):
dataMatrix= np.mat(dataMatin)
labelsMatrix = np.mat(labels).T
m,n = np.shape(dataMatrix)
# 初始化权重
weights = np.ones((n,1))
# m为样本数
for i in range(m):
# error, dataMatrix 为m*n的矩阵
error = labelsMatrix[i] - sigmoid(dataMatrix[i] * weights)
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
return weights
softmax回归
-
softmax回归是logistic回归的一般化，适用于K分类的问题，第k类的参数为向量\(θ_k\)，组成的二维矩阵为\(θ_{k*n}\)
-
softmax函数的本质就是将一个K维的任意实数向量压缩（映射）成另一个K维的实数向量，其中向量中的每个元素取值都介于（0，1）之间。
-
logistics回归概率函数：
- \(p(y=1|x;\theta)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}\)
-
softmax回归概率函数：
- \(p(y=k|x;\theta)=\frac{e^{\theta^T_kx}}{\sum_{j=1}^{k}e^{-\theta^T_jx}} \quad k=1,2.\dots,K\)
-
softmax假设函数：
-
softmax损失函数：
- \(J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum^m_(i=1)\sum^k_(j=1)I(y^{(i)}=j)ln(\frac{e^{\theta^T_jx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{-\theta^T_lx^{(i)}}})\)
- 解法同上：logistics回归的对数似然函数
- 函数\(I(y^{(i)}=j)\)：
- \(if(y^{(i)}=j): \quad I(y^{(i)}=j)=1 \quad else \quad I(y^{(i)}=j)=0\)
- 存在的意思：使不是j类别的样本损失为0，使似然函数最大化
- \(J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum^m_(i=1)\sum^k_(j=1)I(y^{(i)}=j)ln(\frac{e^{\theta^T_jx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{-\theta^T_lx^{(i)}}})\)
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对第i个样本的属于j类别\(\theta\)分量求导：（\(0<i<m\)，\(1<j<k\)）
- \(\nabla_{\theta_j}J(\theta)=\nabla-I(y^{(i)}=j)ln(\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}})\)
- \(ln(\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}}) = \theta_j^Tx^{(i)}-ln(\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx^{(i)})}\)
- \(\nabla_{\theta_j}J(\theta)=-I(y^{(i)}=j)(1-\frac{e^{\theta^T_jx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{-\theta^T_lx^{(i)}}})x^{(i)}\)
-
第j类别\(\theta\)更新：
- 批量梯度下降
- \(\theta_j=\theta_j+\alpha \sum_{i=1}^{m}I(y^{(i)}=j)(1-p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta))x^{(i)}\)
- 随机梯度下降
- \(\theta_j=\theta_j+\alpha I(y^{(i)}=j)(1-p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta))x^{(i)}\)
- 批量梯度下降
