多维检索树KD-Tree

K维检索树类似于二叉检索树，不同的是，它能同时提供多维度属性的检索。K维（从0开始计维数）检索树的定义： K维检索树是一个n层的二叉树（根节点为第0层，依次往下为第1,2..n-1层），对于树中第n层的每个节点，其左子树所有节点的第n%k维属性小于或等于该节点的第n%k维属性；其右子树所有节点的第n%k维属性都大于或等于该节点的第n%k维属性。通俗的讲，就是将整个树的层数循环标记为0到k-1，在第0层比较第0为属性，在第1层比较第1层属性，依此类推。

 

假设A-G代表二维空间的点(由x,y二维坐标标示)，则依次插入A-G节点到树中会构成如下所示的树。

 

 

插入A	树为空，A作为根节点
插入B	与A比较第0维属性，进入左子树，左子树为空，直接插入
插入C	与A比较第0维属性，进入右子树，右子树为空，直接插入
插入D	与A比较第0维属性，进入左子树，与B比较第1维属性，进入左子树…
插入E	与A比较第0维属性，进入左子树，与B比较第1维属性，进入右子树…
插入F	与A比较第0维属性，进入右子树，与C比较第1维属性，进入右子树…
插入G	与A比较第0维属性，进入左子树，与B比较第1维属性，进入左子树，与D比较第0维属性，进入左子树…

 

算法时间复杂度：

查找：从根节点逐层比较，直到遇到目标或者子树为空，时间复杂度为O(logN)。

插入：从根节点逐层比较，按照定义的规则直到遇到叶子节点，时间复杂度为O(logN)。

删除：对于叶子节点，或只有单分支子树的节点，直接删除，否则找到右子树的最左节点或左子树的最右节点，替换掉被删节点，算法复杂度O(logN)。

优化：将树优化为平衡树，将树的节点导出至vector中，并清空树，将vector集合按第一维属性，分成两堆，左边比中间元素小，右边比中间元素大（nth-element），将中间元素插入到树中，递归将左右两堆的元素插入到左子树、右子树（比较时根据层数比较对应的维度值）。优化的时间复杂度为O（NlogN）。

区间查找：从根节点起，检查根节点是否符合条件，如果符合加入至结果集中；如果左子树跟目标区间有交集，递归查找左子树；如果右子树跟目标区间有交集，查找右子树。（设定一个动态区间，初始时与目标区间相同，进入左子树，则要更新动态区间对应维度的上限；若进入右子树，则要更新动态区间对应维度的上限；通过判断动态和目标区间是否有交集可以看出需要进入左右子树，从而减少查找空间）。

 

更详细的了解参考论文：Multidimensional Binary Search Trees Used for Associative Searching

 

libkdtree++是一个C++实现的kdtree lib，提供了insert、erase、optimise、find_exact、

find_within_range、find_nearest等接口。

find_with_range(val, range, OutputIterator)不能满足需求，因只能指定每维属性在

val[k] – range到val[k] + range的范围内。因为需要支持任意区间查找，而kdtree++没有提供

需要的接口，我在kdtree的实现中增加了find_within_range(vmin, vmax, OutputIterator)接口，

同时需要给Region添加一个构造函数。