B树算法与实现

B树的定义

假设B树的度为t（t>=2），则B树满足如下要求：（参考算法导论）

（1）  每个非根节点至少包含t-1个关键字，t个指向子节点的指针；至多包含2t-1个关键字，2t个指向子女的指针（叶子节点的子女为空）。

（2）  节点的所有key按非降序存放，假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K[n], 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1]，其中n为节点关键字的个数。则有：

P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K[n] <= P[n+1]   // 这里P[n]也指其指向的关键字

（3）  若根节点非空，则根节点至少包含两个子女；

（4）  所有的叶子节点都在同一层。

 

B树的搜索，search（root, target）

从root出发，对每个节点，找到大于或等于target关键字中最小的K[i]，如果K[i]与target相等，则查找成功；否则在P[i]中递归搜索target，直到到达叶子节点，如仍未找到则说明关键字不在B树中，查找失败。

 

B树的插入，insert(root, target)

B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点，根据B树的规则，每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间，故当target要加入到某个叶子时，如果该叶子节点已经有2t-1个关键字，则再加入target就违反了B树的定义，这时就需要对该叶子节点进行分裂，将叶子以中间节点为界，分成两个包含t-1个关键字的子节点，同时把中间节点提升到该叶子的父节点中，如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1，则要继续向上分裂，直到根节点，根节点的分裂会使得树加高一层。

 

上面的过程需要回溯，那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢？答案是肯定的，核心思想就是未雨绸缪，在下降的过程中，一旦遇到已满的节点（关键字个数为2t-1），就就对该节点进行分裂，这样就保证在叶子节点需要分裂时，其父节点一定是非满的，从而不需要再向上回溯。

 

B树的删除，delete(root, target)

在删除B树节点时，为了避免回溯，当遇到需要合并的节点时就立即执行合并，B树的删除算法如下：从root向叶子节点按照search规律遍历：

（1）  如果target在叶节点x中，则直接从x中删除target，情况（2）和（3）会保证当再叶子节点找到target时，肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。

（2）  如果target在分支节点x中：

（a）  如果x的左分支节点y至少包含t个关键字，则找出y的最右的关键字prev，并替换target，并在y中递归删除prev。

（b）  如果x的右分支节点z至少包含t个关键字，则找出z的最左的关键字next，并替换target，并在z中递归删除next。

（c）  否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将targe与z合并到y中，使得y有2t-1个关键字，再从y中递归删除target。

（3）  如果关键字不在分支节点x中，则必然在x的某个分支节点p[i]中，如果p[i]节点只有t-1个关键字。

（a）  如果p[i-1]拥有至少t个关键字，则将x的某个关键字降至p[i]中，将p[i-1]的最大节点上升至x中。

（b）  如果p[i+1]拥有至少t个关键字，则将x个某个关键字降至p[i]中，将p[i+1]的最小关键字上升至x个。

（c）  如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字，则将p[i]与其中一个兄弟合并，将x的一个关键字降至合并的节点中，成为中间关键字。

 

B树的实现

数据结构

  1. /**
  2.  * @brief the degree of btree
  3.  * key per node: [M-1, 2M-1]
  4.  * child per node: [M, 2M]
  5.  */
  6. #define M 2   // M为B树的度

  8. typedef struct btree_node {
  9.     int k[2*M-1];
  10.     struct btree_node *p[2*M];
  11.     int num;
  12.     bool is_leaf;
  13. } btree_node;


创建B树

  1. btree_node *btree_node_new()
  2. {
  3.     btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
  4.     if(NULL == node) {
  5.         return NULL;
  6.     }

  8.     for(int i = 0; i < 2 * M -1; i++) {  // 初始化key
  9.         node->k[i] = 0;
  10.     }

  12.     for(int i = 0; i < 2 * M; i++) {     // 初始化pointer
  13.         node->p[i] = NULL;
  14.     }

  16.     node->num = 0;
  17.     node->is_leaf = true;  // 默认为叶子
  18. }

  20. btree_node *btree_create()
  21. {
  22.     btree_node *node = btree_node_new();
  23.     if(NULL == node) {
  24.         return NULL;
  25.     }

  27.     return node;
  28. }


插入节点

  1. // 当child满时，将其进行分裂，child = parent->p[pos]
  2. int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
  3. {
  4.     // 创建新的节点
  5.     btree_node *new_child = btree_node_new();
  6.     if(NULL == new_child) {
  7.         return -1;
  8.     }
      
     // 新节点的is_leaf与child相同，key的个数为M-1
  1.     new_child->is_leaf = child->is_leaf;
  2.     new_child->num = M - 1;
  3.     
  4.     // 将child后半部分的key拷贝给新节点
  5.     for(int i = 0; i < M - 1; i++) {
  6.         new_child->k[i] = child->k[i+M];
  7.     }
      
     // 如果child不是叶子，还需要把指针拷过去，指针比节点多1
  1.     if(false == new_child->is_leaf) {
  2.         for(int i = 0; i < M; i++) {
  3.             new_child->p[i] = child->p[i+M];
  4.         }
  5.     }

  7.     child->num = M - 1;
      
     // child的中间节点需要插入parent的pos处，更新parent的key和pointer
  1.     for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
  2.         parent->p[i+1] = parent->p[i];
  3.     }
  4.     parent->p[pos+1] = new_child;

  6.     for(int i = parent->num - 1; i >= pos; i--) {
  7.         parent->k[i+1] = parent->k[i];
  8.     }
  9.     parent->k[pos] = child->k[M-1];
  10.     
  11.     parent->num += 1;
  12. }
 
 // 执行该操作时，node->num < 2M-1 
  1. void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
  2. {
  3.     if(1 == node->is_leaf) { // 如果在叶子中找到，直接删除
  4.         int pos = node->num;
  5.         while(pos >= 1 && target < node->k[pos-1]) {
  6.             node->k[pos] = node->k[pos-1];
  7.             pos--;
  8.         }

  10.         node->k[pos] = target;
  11.         node->num += 1;

  13.     } else {   // 沿着查找路径下降
  14.         int pos = node->num;
  15.         while(pos > 0 && target < node->k[pos-1]) {
  16.             pos--;
  17.         }

  19.         if(2 * M -1 == node->p[pos]->num) {
  20.             btree_split_child(node, pos, node->p[pos]); // 如果路径上有满节点则分裂
  21.             if(target > node->k[pos]) {
  22.                 pos++;
  23.             }
  24.         }
  25.         
  26.         btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
  27.     }
  28. }

 //插入入口
  1. btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
  2. {
  3.     if(NULL == root) {
  4.         return NULL;
  5.     }
  6.     
  7.     // 对根节点的特殊处理，如果根是满的，唯一使得树增高的情形
  8.     // 先申请一个新的
  9.     if(2 * M - 1 == root->num) {
  10.         btree_node *node = btree_node_new();
  11.         if(NULL == node) {
  12.             return root;
  13.         }
  14.         
  15.         node->is_leaf = 0;
  16.         node->p[0] = root;
  17.         btree_split_child(node, 0, root);
  18.         btree_insert_nonfull(node, target);
  19.         return node;
  20.     } else {
  21.         btree_insert_nonfull(root, target);
  22.         return root;
  23.     }
  24. }


删除节点

  1. // 将y，root->k[pos], z合并到y节点，并释放z节点，y,z各有M-1个节点
  2. void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
  3. {
  4.     // 将z中节点拷贝到y的后半部分
  5.     y->num = 2 * M - 1;
  6.     for(int i = M; i < 2 * M - 1; i++) {
  7.         y->k[i] = z->k[i-M];
  8.     }
  9.     y->k[M-1] = root->k[pos]; // k[pos]下降为y的中间节点
  10.     
  11.     // 如果z非叶子，需要拷贝pointer
  12.     if(false == z->is_leaf) {
  13.         for(int i = M; i < 2 * M; i++) {
  14.             y->p[i] = z->p[i-M];
  15.         }
  16.     }
     
      // k[pos]下降到y中，更新key和pointer
  1.     for(int j = pos + 1; j < root->num; j++) {
  2.         root->k[j-1] = root->k[j];
  3.         root->p[j] = root->p[j+1];
  4.     }

  6.     root->num -= 1;
  7.     free(z);
  8. }
  
 // 删除入口
  1. btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
  2. {
  3.     // 特殊处理，当根只有两个子女，切两个子女的关键字个数都为M-1时，合并根与两个子女
  4.     // 这是唯一能降低树高的情形
  5.     if(1 == root->num) {
  6.         btree_node *y = root->p[0];
  7.         btree_node *z = root->p[1];
  8.         if(NULL != y && NULL != z &&
  9.                 M - 1 == y->num && M - 1 == z->num) {
  10.             btree_merge_child(root, 0, y, z);
  11.             free(root);
  12.             btree_delete_nonone(y, target);
  13.             return y;
  14.         } else {
  15.             btree_delete_nonone(root, target);
  16.             return root;
  17.         }
  18.     } else {
  19.         btree_delete_nonone(root, target);    
  20.         return root;
  21.     }
  22. }
  
 // root至少有个t个关键字，保证不会回溯
  1. void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
  2. {
  3.     if(true == root->is_leaf) {  // 如果在叶子节点，直接删除
  4.         int i = 0;
  5.         while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
  6.         if(target == root->k[i]) {
  7.             for(int j = i + 1; j < 2 * M - 1; j++) {
  8.                 root->k[j-1] = root->k[j];
  9.             }
  10.             root->num -= 1;
  11.         } else {
  12.             printf("target not found\n");
  13.         }
  14.     } else {  // 在分支中
  15.         int i = 0;
  16.         btree_node *y = NULL, *z = NULL;
  17.         while(i < root->num && target > root->k[i]) i++; 
  18.         if(i < root->num && target == root->k[i]) { // 如果在分支节点找到target
  19.             y = root->p[i];
  20.             z = root->p[i+1];
  21.             if(y->num > M - 1) {  
  22. // 如果左分支关键字多于M-1，则找到左分支的最右节点prev，替换target
  23.                 // 并在左分支中递归删除prev,情况2（a)
  24.                 int pre = btree_search_predecessor(y);
  25.                 root->k[i] = pre;
  26.                 btree_delete_nonone(y, pre);
  27.             } else if(z->num > M - 1) {
  28.                 // 如果右分支关键字多于M-1，则找到右分支的最左节点next，替换target
  29.                 // 并在右分支中递归删除next,情况2(b)
  30.                 int next = btree_search_successor(z);
  31.                 root->k[i] = next;
  32.                 btree_delete_nonone(z, next);
  33.             } else {
  34.                 // 两个分支节点数都为M-1，则合并至y，并在y中递归删除target,情况2(c)
  35.                 btree_merge_child(root, i, y, z);
  36.                 btree_delete(y, target);
  37.             }
  38.         } else {   // 在分支没有找到，肯定在分支的子节点中
  39.             y = root->p[i];
  40.             if(i < root->num) {
  41.                 z = root->p[i+1];
  42.             }
  43.             btree_node *p = NULL;
  44.             if(i > 0) {
  45.                 p = root->p[i-1];
  46.             }

  48.             if(y->num == M - 1) {
  49.                 if(i > 0 && p->num > M - 1) {
  50.                     // 左邻接节点关键字个数大于M-1
  51.                     btree_shift_to_right_child(root, i-1, p, y); //情况3(a)
  52.                 } else if(i < root->num && z->num > M - 1) {
  53.                     // 右邻接节点关键字个数大于M-1
  54.                     btree_shift_to_left_child(root, i, y, z); // 情况3(b)
  55.                 } else if(i > 0) {
  56.                     btree_merge_child(root, i-1, p, y);  // 情况3（c)
  57.                     y = p;
  58.                 } else {
  59.                     btree_merge_child(root, i, y, z); // 情况3(c)
  60.                 }
  61.                 btree_delete_nonone(y, target);
  62.             } else {
  63.                 btree_delete_nonone(y, target);
  64.             }
  65.         }

  67.     }
  68. }

 //寻找rightmost，以root为根的最大关键字
  1. int btree_search_predecessor(btree_node *root)
  2. {
  3.     btree_node *y = root;
  4.     while(false == y->is_leaf) {
  5.         y = y->p[y->num];
  6.     }
  7.     return y->k[y->num-1];
  8. }

 // 寻找leftmost，以root为根的最小关键字
  1. int btree_search_successor(btree_node *root)
  2. {
  3.     btree_node *z = root;
  4.     while(false == z->is_leaf) {
  5.         z = z->p[0];
  6.     }
  7.     return z->k[0];
  8. }

 // z向y借节点，将root->k[pos]下降至z，将y的最大关键字上升至root的pos处
  1. void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
  2.         btree_node *y, btree_node *z)
  3. {
  4.     z->num += 1;
  5.     for(int i = z->num -1; i > 0; i--) {
  6.         z->k[i] = z->k[i-1];
  7.     }
  8.     z->k[0]= root->k[pos];
  9.     root->k[pos] = y->k[y->num-1];

  11.     if(false == z->is_leaf) {
  12.         for(int i = z->num; i > 0; i--) {
  13.             z->p[i] = z->p[i-1];
  14.         }
  15.         z->p[0] = y->p[y->num];
  16.     }

  18.     y->num -= 1; 
  19. }

 // y向借节点，将root->k[pos]下降至y，将z的最小关键字上升至root的pos处
  1. void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
  2.         btree_node *y, btree_node *z)
  3. {
  4.     y->num += 1;
  5.     y->k[y->num-1] = root->k[pos];
  6.     root->k[pos] = z->k[0];

  8.     for(int j = 1; j < z->num; j++) {
  9.         z->k[j-1] = z->k[j];
  10.     }

  12.     if(false == z->is_leaf) {
  13.         y->p[y->num] = z->p[0];
  14.         for(int j = 1; j <= z->num; j++) {
  15.             z->p[j-1] = z->p[j];
  16.         }
  17.     }

  19.     z->num -= 1;
  20. }


插入与删除过程（图片为层序遍历的结果）

插入序列[18, 31, 12, 10, 15, 48, 45, 47, 50, 52, 23, 30, 20]

 

删除序列[15, 18, 23, 30, 31, 52, 50, 48, 47, 45, 20, 12, 10]


B+树

与B树不同的时，B+树的关键字都存储在叶子节点，分支节点均为索引，在实现上大致与B树类似，在几个细节稍有不同。

 

（1） 数据结构中增加prev，next指针，用于将叶子节点串成有序双向链表。

（2） 在节点分裂的时候，如果分裂的节点为叶子，则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上，并且需要更新prev和next。

（3） 在节点合的时候，如果合并的节点为叶子，不需要把跟节点下降为中间节点，并且需要更新prev和next。

（4） 在向邻接节点借节点时，借来的关键字并不是父节点的关键字，而是邻接点的关键字，并根据实际情况更新父节点的索引。


 btree.rar   C语言实现，因用到了bool变量，编译时请使用g++ -o btree btree.c


posted @ 2013-04-19 14:12  ydzhang  阅读(602)  评论(0)  编辑  收藏  举报