圆内的均匀随机点

前言

最近遇到一个问题，需要在以一个坐标为中心的区域内生成一组均匀分布的随机点，首先想到的就是以圆作为区域。

圆内随机点

方法1:

根据\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\),那么自让想到可以先随机生成[-R,R]间的横坐标x，然后生成[\(-\sqrt{R^{2}-X^{2}},\sqrt{R^{2}-X^{2}}\)]范围内的随机数y，那么(x,y)自然也就是在圆内的随机点了。

写一段代码看一看:

def random_point_in_circle(point_num, radius):
   for i in range(2,point_num+1):
       x=random.uniform(-radius,radius)
       y_max=math.sqrt(radius*radius-x*x)
       y=random.uniform(-y_max,y_max)
       plt.plot(x,y,'*',color="blue")

def main():
    pi = np.pi
    theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
    R = 1
    x = np.sin(theta) * R
    y = np.cos(theta) * R

    plt.figure(figsize=(6, 6))
    plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
    plt.title("random_points_in_circle")
    random_point_in_circle(4000, R)
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__=="__main__":
    main()

看到这个图应该立刻就知道哪里出错了，当x越靠近圆的边缘的话，y的范围就会越小，所以两边边缘的点会非常密集，不能算"均匀分布"。

方法2:

然后就会想到能否利用面积这个概念呢？因为上一个方法出错在边缘处，即y的范围会随着x的范围的变化而发生变化，所以如果在一个矩形区域内生成随机点，就会是均匀分布的；然后如果在圆内就保留下来这个点:

def random_point_in_circle(point_num, radius):
   for i in range(2,point_num+1):
       while True:
           x=random.uniform(-radius,radius)
           y=random.uniform(-radius,radius)
           if(x**2)+(y**2)<(radius**2):
               break
       plt.plot(x,y,'*',color="blue")

def main():
    pi = np.pi
    theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
    R = 1
    x = np.sin(theta) * R
    y = np.cos(theta) * R

    plt.figure(figsize=(6, 6))
    plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
    plt.title("random_points_in_circle")
    random_point_in_circle(4000, R)
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__=="__main__":
    main()

效果很OK:

但是这种方法的缺点就是会有较大的开销，想想看我们是按矩形范围内产生的点，最后会在圆内的点的概率只有\(\frac{\pi R^{2}}{(2R)^{2}}=\frac{\pi}{4}\)

方法3:

那么我们能否考虑用极坐标呢，可以消除y的范围对x的范围敏感的问题。利用\(x=R*cos(\theta)​\)与\(y=R*sin(\theta)​\)，先随机生成[\(0,2\pi​\)]内的\(\theta​\)，然后随机生成[0,R]内的r:

def random_point_in_circle(point_num, radius):
   for i in range(2,point_num+1):
       theta=random.random()*2*np.pi
       r=random.uniform(0,radius)
       x=r*math.cos(theta)
       y=r*math.sin(theta)
       plt.plot(x,y,'*',color="blue")

def main():
    pi = np.pi
    theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
    R = 1
    x = np.sin(theta) * R
    y = np.cos(theta) * R

    plt.figure(figsize=(6, 6))
    plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
    plt.title("random_points_in_circle")
    random_point_in_circle(4000, R)  # 修改此处来显示不同算法的效果
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__=="__main__":
    main()

边缘的点会比较稀疏的原因是这样的，由于r是在[0,R]之间等概率产生的，所以可以认为同一个r的生成的随机点是相同的，但是圆的半径会变大，同样数量的点就会显得稀疏了。

方法4:

在这里我们先引入一条定理:令\(R=r^{2}\),R在[0,1]上是均匀分布，\(\theta\)在[\(0,2\pi\)]上是均匀分布，且R与\(\theta\)相互独立，令$$x=rcos(\theta)=\sqrt{R}cos(\theta)$$

\[y=r*sin(\theta)=\sqrt{R}*sin(\theta) \]

那么我们有(x,y)是均匀分布。

如果要证明(x,y)是均匀分布，由对称性我们只需要证明(x,y)在第一象限为均匀分布即可，即需要证明(x,y)的联合概率密度\(f(x,y)=\frac{1}{S}=\frac{1}{\pi /4}\)

首先我们知道连续性随机向量变换的联合分布的一个定理:

设(X,Y)是联合概率密度为\(f(x,y)\)的连续性随机向量，\(g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)\) \(\xi=g_{1}(X,Y), \eta=g_{2}(X,Y)\)。如果对任何非负连续的二元函数\(h(\mu,\upsilon)\)成立，则有:

\[\iint h[g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]f(x,y)dx dy=\iint h(\mu,\upsilon)p(\mu,\upsilon)d\mu d\upsilon \]

放上代码:

def random_point(car_num,radius):
    for i in range(1, car_num + 1):
        theta = random.random() * 2 * np.pi
        r = random.uniform(0, radius)
        x = math.cos(theta) * (r ** 0.5)
        y = math.sin(theta) * (r ** 0.5)
        plt.plot(x, y, '*', color="blue")

def main():
    pi = np.pi
    theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
    R = 1
    x = np.sin(theta) * R
    y = np.cos(theta) * R

    plt.figure(figsize=(6, 6))
    plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
    plt.title("random_points_in_circle")
    random_point(4000, R)  # 修改此处来显示不同算法的效果
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__=="__main__":
    main()

结果如下:

应该是比较满意的了。