记录Leetcode 鸡蛋掉落 的思路

前言

首先看一下这个题目，是Leetcode的第887题"鸡蛋掉落":

你将获得 `K` 个鸡蛋，并可以使用一栋从 `1` 到 `N`  共有 `N` 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 `F` ，满足 `0 <= F <= N` 任何从高于 `F` 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 `F` 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次*移动*，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 `X` 扔下（满足 `1 <= X <= N`）。
你的目标是**确切地**知道 `F` 的值是多少。
无论 `F` 的初始值如何，你确定 `F` 的值的最小移动次数是多少？

分析

这道题曾经是作为Google面试的一道题目，不过当时问的是:一幢 200 层的大楼，给你两个鸡蛋。如果在第 n 层扔下鸡蛋，鸡蛋不碎，那么从第 n-1 层扔鸡蛋，都不碎。这两只鸡蛋一模一样，不碎的话可以扔无数次。最高从哪层楼扔下时鸡蛋不会碎？

因为有两个鸡蛋，所以我们可以考虑粗调和细调，即通过第一个鸡蛋的试错来缩小答案的范围。比如第一个鸡蛋在k层碎了，那么我们就可以确定临界楼层是\([1，k)\)之间；所以我们首先考虑的应该就是第一个鸡蛋应该在哪里扔。

假设第一个鸡蛋的楼层策略是\(k_{1}，k_{2},k_{3}....k_{p}\)，其中p是扔的总次数，楼高为N

第二个鸡蛋肯定是在\(k_{i}\)之间进行遍历，所以优化这个问题就是求一个策略组合使得p的值最小。举个例子，如果我们用二分法，选了k1=50扔，没有碎，好的我们进入下一个状态，取k2=75，仍然没有碎，进入下一个状态k3=90，碎了，说明临界不碎楼层是在\([76，89]\)之间的，我们总共实验了3+14=17次。我们这里选用二分法的k1、k2、k3就是一种可选的策略，换成其他的也可以，但是要使这个策略的p尽量的小就是我们的目标。

所以我们再仔细观察一下上图，发现小圆圈其实都是第二个鸡蛋遍历的过程，都是O(n)，所以可以等价为一个操作，这个图实际上也就是一个树形结构:

如果这个树类似下面的结构的话，我们可以得到最优解:

我们的树结构最好满足的关系为:

我们来解析一下第一个式子:\(k_{1}=k_{2}-k_{1}+1\),这是因为\(k_{1}-1=(k_{2}-k_{1}-1)+1\),加1是因为k2这个节点。要满足每棵子树的树高相等，\(k_{p}\)必须是一个递减等差数列。所以我们可以令\(k_{p}\sim N\)，所以就有\(\frac{k_{1}(k_{1}+1)}{2}=N\)

回到Google这道面试题上来的话，就是\(\frac{x()(x+1)}{2}=200\),解得\(x=14\)，所以扔蛋的一种策略为14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，一共需要尝试11+(13+12+11+10+9+8+7+6+5+4)/10=11+8.5 -->=20次。

然后再回到Leetcode这道题上来，这道题用动态规划来做可能更加简便，当然用我们刚才分析这道题的树形结构来分析也是可以的。

动态规划

首先的先暂时抛开我们刚才树形结构的分析，这里先不讨论粗调与细调的概念，就是一个线性结构:

思路1：

我们需要求一个最优决策使得扔的次数最小，虽然实际扔的次数会随着真实结果而变化，但是k个鸡蛋来测N层可以借助于k-1个鸡蛋测N层的结果。

我们用dp[n][k]表示k个鸡蛋测n层的扔的次数。如果i层的时候鸡蛋碎了，剩下来的k-1个鸡蛋用来测i-1层，也就是dp[n][k]=dp[i-1][k-1]+1；如果i层的时候鸡蛋没有碎，那么剩下来的k个鸡蛋用来测n-i个楼层。所以，在第i层扔，会用 max(dp[i-1][k-1], dp[n-i][k]) + 1 ，即$$dp[n][k] = min(max(dp[i-1][k-1], dp[n-i][k]) + 1 ) (1 <= i <= n)$$

思路2：

我们可以改变一下求解的思路，求k个鸡蛋在m步内可以测出多少层：
假设: dp[k][m] 表示k个鸡蛋在m步内最多能测出的层数。
那么，问题可以转化为当 k <= K 时，找一个最小的m，使得dp[k][m]<= N。

我们来考虑下求解dp[k][m]的策略：
假设我们有k个鸡蛋第m步时，在第X层扔鸡蛋。这时候，会有两种结果，鸡蛋碎了，或者没碎。
如果鸡蛋没碎，我们接下来会在更高的楼层扔，最多能确定 X + dp[k][m-1] 层的结果；
如果鸡蛋碎了，我们接下来会在更低的楼层扔，最多能确定 Y + dp[k-1][m-1] 层的结果 (假设在第X层上还有Y层)。
因此，这次扔鸡蛋，我们最多能测出 dp[k-1][m-1] (摔碎时能确定的层数) + dp[k][m-1] (没摔碎时能确定的层数) + 1 (本层) 层的结果。
另外，我们知道一个鸡蛋一次只能测一层，没有鸡蛋一层都不能测出来。
因此我们可以列出完整的递推式:

dp[k][0] = 0
dp[1][m] = m (m > 0)
dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + dp[k][m-1] + 1 (k > 0, m>0)

先给出代码:

class Solution {
public:
    int superEggDrop(int K, int N) {
        if(K==0) return 0;
        if(K==1) return N;
        int dp[N+2][K+2];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=0;
        for(int i=1;i<=N;++i)
        {
            dp[i][0]=0;
            for(int j=1;j<=K;++j)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+1;
                if(dp[i][j]>=N)
                    return i;
            }
        }
        return N; 
    }
};

树形结构

我们仍然可以从树形结构的角度去想，即尽量的把鸡蛋的数量往2上面去接近，扔一个鸡蛋数量就少一个；而这个思路其实是和动态规划思路1是一致的。

在知乎上也有关于这道题的讨论，见这里