数据结构-最小生成树-克鲁斯卡尔
转自：http://data.biancheng.net/view/41.html 治好了我多年关于标记的理解
本节所介绍的克鲁斯卡尔算法，从边的角度求网的最小生成树，时间复杂度为O(eloge)。和普里姆算法恰恰相反，更适合于求边稀疏的网的最小生成树。
对于任意一个连通网的最小生成树来说，在要求总的权值最小的情况下，最直接的想法就是将连通网中的所有边按照权值大小进行升序排序，从小到大依次选择。
由于最小生成树本身是一棵生成树，所以需要时刻满足以下两点：
- 生成树中任意顶点之间有且仅有一条通路，也就是说，生成树中不能存在回路；
- 对于具有 n 个顶点的连通网，其生成树中只能有 n-1 条边，这 n-1 条边连通着 n 个顶点。
连接 n 个顶点在不产生回路的情况下，只需要 n-1 条边。
所以克鲁斯卡尔算法的具体思路是：将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断，条件为：如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路，就可以作为最小生成树的一部分；反之，舍去。直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。
判断是否会产生回路的方法为：在初始状态下给每个顶点赋予不同的标记，对于遍历过程的每条边，其都有两个顶点，判断这两个顶点的标记是否一致，如果一致，说明它们本身就处在一棵树中，如果继续连接就会产生回路；如果不一致，说明它们之间还没有任何关系，可以连接。
假设遍历到一条由顶点 A 和 B 构成的边，而顶点 A 和顶点 B 标记不同，此时不仅需要将顶点 A 的标记更新为顶点 B 的标记，还需要更改所有和顶点 A 标记相同的顶点的标记，全部改为顶点 B 的标记。
例如，使用克鲁斯卡尔算法找图 1 的最小生成树的过程为：
首先，在初始状态下，对各顶点赋予不同的标记（用颜色区别），如下图所示：
（1）
对所有边按照权值的大小进行排序，按照从小到大的顺序进行判断，首先是（1，3），由于顶点 1 和顶点 3 标记不同，所以可以构成生成树的一部分，遍历所有顶点，将与顶点 3 标记相同的全部更改为顶点 1 的标记，如（2）所示：
（2）
其次是（4，6）边，两顶点标记不同，所以可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：
（3）
其次是（2，5）边，两顶点标记不同，可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：
（4）
然后最小的是（3，6）边，两者标记不同，可以连接，遍历所有顶点，将与顶点 6 标记相同的所有顶点的标记更改为顶点 1 的标记：
（5）
继续选择权值最小的边，此时会发现，权值为 5 的边有 3 个，其中（1，4）和（3，4）各自两顶点的标记一样，如果连接会产生回路，所以舍去，而（2，3）标记不一样，可以选择，将所有与顶点 2 标记相同的顶点的标记全部改为同顶点 3 相同的标记：
（6）
当选取的边的数量相比与顶点的数量小 1 时，说明最小生成树已经生成。所以最终采用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树为（6）所示。
实现代码：
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #define MAX_VERtEX_NUM 20 #define VertexType int typedef struct edge{ VertexType initial;//就是start 边的一个顶点 VertexType end; VertexType weight; }edge[MAX_VERtEX_NUM]; //定义辅助数组 typedef struct { VertexType value;//顶点数据 int sign;//每个顶点所属的集合 }assist[MAX_VERtEX_NUM]; assist assists; //qsort排序函数中使用，使edges结构体中的边按照权值大小升序排序 int cmp(const void *a,const void*b){ return ((struct edge*)a)->weight-((struct edge*)b)->weight; } //初始化连通网 void CreateUDN(edge *edges,int *vexnum,int *arcnum){ printf("输入连通网的边数：\n"); scanf("%d %d",&(*vexnum),&(*arcnum)); printf("输入连通网的顶点：\n"); for (int i=0; i<(*vexnum); i++) { scanf("%d",&(assists[i].value)); assists[i].sign=i;//一开始各自属于各自的 } printf("输入各边的起始点和终点及权重：\n"); for (int i=0 ; i<(*arcnum); i++) { scanf("%d,%d,%d",&(*edges)[i].initial,&(*edges)[i].end,&(*edges)[i].weight); } } //在assists数组中找到顶点point对应的位置下标 int Locatevex(int vexnum,int point){ for (int i=0; i<vexnum; i++) { if (assists[i].value==point) { return i; } } return -1; } int main(){ int arcnum,vexnum; edge edges; CreateUDN(&edges,&vexnum,&arcnum); //对连通网中的所有边进行升序排序，结果仍保存在edges数组中 qsort(edges, arcnum, sizeof(edges[0]), cmp); //创建一个空的结构体数组，用于存放最小生成树 edge minTree; //设置一个用于记录最小生成树中边的数量的常量 int num=0; //遍历所有的边 for (int i=0; i<arcnum; i++) { //找到边的起始顶点和结束顶点在数组assists中的位置 int initial=Locatevex(vexnum, edges[i].initial); int end=Locatevex(vexnum, edges[i].end); //如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路 if (initial!=-1&& end!=-1&&assists[initial].sign!=assists[end].sign) { //记录该边，作为最小生成树的组成部分 minTree[num]=edges[i]; //计数+1 num++; //将新加入生成树的顶点标记全部更改为一样的 for (int k=0; k<vexnum; k++) { if (assists[k].sign==assists[end].sign) { assists[k].sign=assists[initial].sign; } } //如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环 if (num==vexnum-1) { break; } } } //输出语句 for (int i=0; i<vexnum-1; i++) { printf("%d,%d\n",minTree[i].initial,minTree[i].end); } return 0; }
测试数据：
输入连通网的边数： 6 10 输入连通网的顶点： 1 2 3 4 5 6 输入各边的起始点和终点及权重： 1,2,6 1,3,1 1,4,5 2,3,5 2,5,3 3,4,5 3,5,6 3,6,4 4,6,2 5,6,6 1,3 4,6 2,5 3,6 2,3
