数据结构与算法（五）：优先队列
这节总结一下优先队列的常用实现方法。
一、基本概念
普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出 （largest-in，first-out）的行为特征。
抽象数据类型：
优先队列的接口同前面讲到的队列的接口一样，是其基于泛型的API接口代码如下：
public interface Queue<E> {
//队列是否为空
boolean isEmpty();
//队列的大小
int size();
//入队
void enQueue(E element);
//出队
E deQueue();
}
二、基于数组实现的优先队列
实现优先队列最简的方法就是基于前面讲到的基于数组的栈的代码，只需对插入或删除操作作相应的更改即可。
1、基于有序数组的实现
在栈的代码的插入方法中添加代码，将所有较大的元素向右移动一格，以保证数组有序（和插入排序相同），这里我们可以使用二分查找的方法来找出元素应插入的位置，然后再移动元素。这样最大元素，总是在数组的最右边，其删除操作和栈的实现中一样。
代码：
/**
* 基于有序数组的实现的优先队列
* @author Alent
* @param <E>
*/
public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E>{
private E[] elements;
private int size=0;
@SuppressWarnings("unchecked")
public PriorityQueue() {
elements = (E[])new Comparable[1];
}
@Override public int size() {return size;}
@Override public boolean isEmpty() {return size == 0;}
@Override
public void enQueue(E element) {
if(size == elements.length) {
resizingArray(2*size);//若数组已满将长度加倍
}
elements[size++] = element;
insertSort(elements);
}
@Override
public E deQueue() {
E element = elements[--size];
elements[size] = null; //注意：避免对象游离
if(size > 0 && size == elements.length/4) {
resizingArray(elements.length/2);//小于数组1/4,将数组减半
}
return element;
}
//插入排序，由于前面n-1个元素是有序的，这里只插入最后一个元素
public void insertSort(E[] a) {
int N = size -1; //最后一个元素是size-1，不是a.length-1
if(N == 0) return;
int num = binaryFind(a, a[N], 0, N-1);
E temp = a[N];
//num后的元素向后移动
for (int j = N; j > num; j--) {
a[j] = a[j-1];
}
a[num] = temp;
}
//找出元素应在数组中插入的位置
public int binaryFind(E[] a, E temp, int down, int up) {
if(up<down || up>a.length || down<0) {
System.out.println("下标错误");
}
if(temp.compareTo(a[down]) < 0) return down;
if(temp.compareTo(a[up]) > 0) return up+1;
int mid = (up-down)/2 + down;
if(temp.compareTo(a[mid]) == 0) {
return mid + 1;
}else if(temp.compareTo(a[mid])<0) {
up = mid-1;
}else if(temp.compareTo(a[mid])>0) {
down = mid+1;
}
return binaryFind(a,temp,down,up);
}
//交换两个元素
public void swap(E[] a,int i,int j) {
E temp = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = temp;
}
//调整数组大小
public void resizingArray(int num) {
@SuppressWarnings("unchecked")
E[] temp = (E[])new Comparable[num];
for(int i=0;i<size;i++) {
temp[i] = elements[i];
}
elements = temp;
}
public static void main(String[] args) {
int[] a = {4,2,1,3,8,new Integer(5),7,6};//测试数组
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>();
System.out.print("入栈顺序：");
for(int i=0;i<a.length;i++) {
System.out.print(a[i]+" ");
pq.enQueue(a[i]);
}
System.out.println();
System.out.print("出栈顺序数组实现：");
while(!pq.isEmpty()) {
System.out.println(pq.deQueue());
}
}
}
2、基于无序数组的实现
同样，我们一个可以在删除方法中修改，在删除方法中添加一段类似于选择排序内循环的代码，每次删除时先找出数组中的最大元素，然后与最右边元素进行交换，然后在删除元素。
代码：
@Override
public void enQueue(E element) {
if(size == elements.length) {
resizingArray(2*size);//若数组已满将长度加倍
}
elements[size++] = element;
}
@Override
public E deQueue() {
swapMax(elements);
E element = elements[--size];
elements[size] = null; //注意：避免对象游离
if(size > 0 && size == elements.length/4) {
resizingArray(elements.length/2);//小于数组1/4,将数组减半
}
return element;
}
public void swapMax(E[] a) {
int max = size -1;
for(int i=0;i<size-1; i++) {
if(larger(a[i],a[max]))
max = i;
}
swap(a, size-1, max);
}
//比较两个元素大小
public boolean larger(E a1, E a2) {
return a1.compareTo(a2)>0;
}
三、基于堆实现的优先队列
基本概念：
当一个二叉树的每个结点都大于等于它的两个子结点时，我们称它是堆有序的。根结点是堆有序的二叉树的最大结点。
二叉堆是一组能够用堆有序的完全二叉树排序的元素，并在数组中按照层级存储。
一棵堆有序的完全二叉树
为了操作方便，这是我们使用一个数组，来表示一个堆。我们不使用数组的第一个元素，具体实现在《数据结构与算法（四），树》中有提及，这里就不说了。
1、堆的有序化
当我们将元素插入到堆（数组的末尾）中时，插入的元素可能比它的父结点要大，堆的有序状态被打破。我们需要交换它和它的父节点来修堆，直到堆重新变为有序状态。其操作如下图：
代码如下：
//上浮操作
private void swim(int k) {
while(k > 1 && less(k/2, k)) {
swap(k/2, k);
k = k/2;
}
}
private boolean less(int i, int j) {
return elements[i].compareTo(elements[j]) < 0;
}
//交换两个元素
public void swap(int i,int j) {
E temp = elements[i];
elements[i] = elements[j];
elements[j] = temp;
}
同样的，当我们从堆中删除根结点并将它的最后一个元素放到顶端时，堆的有序性被打破，我们需要将它与它的两个子结点种的较大者进行交换，以恢复堆的有序性，其操作流程如下图：
其代码如下：
//下沉操作
private void sink(int k) {
while(2*k <= size) {
int j = 2*k;
if(j < size && less(j, j+1))
j++;
if(!less(k,j))
break;
swap(k,j);
k = j;
}
}
2、基于堆实现的优先队列
基于堆的优先队列的实现代码如下：
/**
* 基于堆的优先队列
* @author Alent
*/
public class MaxPQ<E extends Comparable<E>> implements Queue<E>{
private E[] elements;
private int size=0;
@SuppressWarnings("unchecked")
public MaxPQ(int capacity) {
elements = (E[])new Comparable[capacity + 1];
}
@Override public int size() {return size;}
@Override public boolean isEmpty() {return size == 0;}
@Override
public void enQueue(E element) {
elements[++size] = element;
swim(size);
}
//上浮
private void swim(int k) {
while(k > 1 && less(k/2, k)) {
swap(k/2, k);
k = k/2;
}
}
private boolean less(int i, int j) {
return elements[i].compareTo(elements[j]) < 0;
}
@Override
public E deQueue() {
E result = elements[1];
swap(1, size--);
elements[size + 1] = null;
sink(1);
return result;
}
//下沉
private void sink(int k) {
while(2*k <= size) {
int j = 2*k;
if(j < size && less(j, j+1))
j++;
if(!less(k,j))
break;
swap(k,j);
k = j;
}
}
//交换两个元素
public void swap(int i,int j) {
E temp = elements[i];
elements[i] = elements[j];
elements[j] = temp;
}
}
三种实现方法的时间复杂度比较：
四、索引优先队列
索引优先队列，它用一个索引数组保存了某个元素在优先队列中的位置，使得我们能够引用已经进入优先队列中的元素。最在些应用中，通常是很有必要的，如：有向图的Dijkstra算法中就使用了索引优先队列，来返回最小边的索引。
其实现方法为：
使用elements[]数组来保存队列中的元素，pq[]数组用来保存elements中元素的索引，在添加一个数组qp[]来保存pq[]的逆序——qp[i]的值是i在pq[]中的位置（即 pq[qp[i]] = i）。若i不在队列中，则令qp[i] = -1。辅助函数less()、swap()、sink()、swim()和前面优先队列中的一样。
索引优先队列的代码实现：
/**
* 基于堆实现的索引优先队列
*/
public class IndexMinPQ<E extends Comparable<E>>{
private int[] pq; //索引二叉堆
private int[] qp; // 保存逆序：pq[qp[i]] = i;
private E[] elements; //元素
private int size = 0;
@SuppressWarnings("unchecked")
public IndexMinPQ(int capacity) {
elements = (E[]) new Comparable[capacity + 1];
pq = new int[capacity + 1];
qp = new int[capacity + 1];
for (int i = 0; i <= capacity; i++) {
qp[i] = -1;
}
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
//删除最小元素，并返回索引
public int delMin() {
int index = pq[1];
swap(1, size--);
sink(1);
elements[pq[size + 1]] = null;
qp[pq[size + 1]] = -1;
return index;
}
//删除索引k及其元素
public void delete(int k) {
int index = qp[k];
swap(index, size--);
swim(index);
sink(index);
elements[k] = null;
qp[k] = -1;
}
//插入元素，将它和索引k关联
public void insert(int k, E element) {
size++;
qp[k] = size;
pq[size] = k;
elements[k] = element;
swim(size);
}
//改变索引k关联的元素
public void change(int k, E element) {
elements[k] = element;
swim(qp[k]);
sink(qp[k]);
}
//是否包含索引k
public boolean contains(int k) {
return qp[k] != -1;
}
//下沉
private void sink(int k) {
while (2 * k <= size) {
int j = 2 * k;
if (j < size && less(j, j + 1))
j++;
if (!less(k, j))
break;
swap(k, j);
k = j;
}
}
//上浮
private void swim(int k) {
while (k > 1 && less(k / 2, k)) {
swap(k, k / 2);
k = k / 2;
}
}
private boolean less(int i, int j) {
return elements[pq[i]].compareTo(elements[pq[j]]) > 0;
}
//交换两元素
private void swap(int i, int j) {
int swap = pq[i];
pq[i] = pq[j];
pq[j] = swap;
qp[pq[i]] = i;
qp[pq[j]] = j;
}
}
索引优先队列的时间复杂度：
